1 Nina y Meir caminan por un sendero de $3$ km hacia la casa de la abuela. Empiezan a caminar al mismo tiempo desde el mismo punto. La velocidad de Meir es $4$ km/h y la velocidad de Nina es $3$ km/h. A lo largo del sendero hay varios bancos. Cada vez que Nina o Meir llega a un banco, se sientan en él durante un tiempo y comen una galleta. Nina siempre tarda $t$ minutos en comer una galleta, y Meir siempre tarda $2t$ minutos en comer una galleta, donde $t$ es un entero positivo. Resulta que Nina y Meir llegaron a la casa de la abuela al mismo tiempo. ¿Cuántos bancos había? Halle todas las opciones.

2 Se nos da un cono de altura 6, cuya base es una circunferencia de radio $\sqrt{2}$ . Dentro del cono hay un cubo inscrito: su cara inferior está sobre la base del cono, y todos sus vértices superiores están sobre el cono. ¿Cuál es la longitud de la arista del cubo? https://i.imgur.com/AHqHHP6.png

7 Se da una tabla con $m$ filas y $n$ columnas. En cada casilla de la tabla hay escrito un entero. Heisuke y Oscar juegan al siguiente juego: al comienzo de cada turno, Heisuke puede elegir intercambiar dos columnas cualesquiera. Luego elige algunas filas y escribe una nueva fila al final de la tabla, en la que cada casilla contiene la suma de las casillas correspondientes de las filas elegidas. Entonces Oscar borra una de las filas elegidas por Heisuke (de modo que al final de cada turno hay exactamente $m$ filas). Luego comienza el siguiente turno y así sucesivamente. Demuestre que Heisuke puede asegurar que, después de una cantidad finita de turnos, ningún número de la tabla sea menor que el número a su derecha. Ejemplo: Si comenzamos con $(1,1,1),(6,5,4),(9,8,7)$ , Heisuke puede elegir intercambiar la primera y la tercera columna para obtener $(1,1,1),(4,5,6),(7,8,9)$ . Luego elige la primera y la segunda fila para obtener $(1,1,1),(4,5,6),(7,8,9),(5,6,7)$ . Entonces Oscar tiene que borrar la primera o la segunda fila, digamos la segunda. Obtenemos $(1,1,1),(7,8,9),(5,6,7)$ y Heisuke gana.

6 Sea $f:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ una función que satisface: Para cualesquiera $x_1,x_2,y_1,y_2 \in \mathbb Q$ , $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)}{2}.$$ $f(0,0) \leq 0$ . Para cualesquiera $x,y \in \mathbb Q$ que satisfacen $x^2+y^2>100$ , se cumple la desigualdad $f(x,y)>1$ .\ Demuestre que existe algún número racional positivo $b$ tal que para todos los racionales $x,y$ , $$f(x,y) \ge b\sqrt{x^2+y^2} - \frac{1}{b}.$$

1. Inicialmente, el número $1$ está escrito en el pizarrón. En cada paso, el número en el pizarrón se borra y se escribe otro, que se obtiene aplicando cualquiera de las siguientes operaciones: Operación A: Multiplica el número en el pizarrón por $\frac12$ . Operación B: Resta el número en el pizarrón de $1$ . Por ejemplo, si el número $\frac38$ está en el pizarrón, puede reemplazarse por $\frac12 \cdot \frac38=\frac{3}{16}$ o por $1-\frac38=\frac58$ . Da una secuencia de pasos después de la cual el número en el pizarrón sea $\frac{2009}{2^{20009}}$ .

5 La sucesión de Fibonacci $F_n$ se define por $F_1=F_2=1$ y la relación de recurrencia $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ para todos los enteros $n\geq3$ . Sean $m,n\geq1$ enteros. Halle el grado mínimo $d$ para el cual existe un polinomio $f(x)=a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\dots+a_1x+a_0$ , que satisface $f(k)=F_{m+k}$ para todo $k=0,1,...,n$ .

6 Los puntos $A_1,A_2,A_3,...,A_{12}$ son los vértices de un polígono regular en ese orden. Las 12 diagonales $A_1A_6,A_2A_7,A_3A_8,...,A_{11}A_4,A_{12}A_5$ están marcadas, como en la figura inferior. Sea $X$ un punto cualquiera del plano. Desde $X$ , trazamos perpendiculares a las 12 diagonales marcadas. Sean $B_1,B_2,B_3,...,B_{12}$ los pies de las perpendiculares, de modo que $B_1$ está sobre $A_1A_6$ , $B_2$ está sobre $A_2A_7$ y así sucesivamente. Evalúe la razón $\frac{XA_1+XA_2+\dots+XA_{12}}{B_1B_6+B_2B_7+\dots+B_{12}B_5}$ . https://i.imgur.com/DUuwFth.png

7 Halle todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{C}$ tales que $f(x(2y+1))=f(x(y+1))+f(x)f(y)$ se cumple para cualesquiera dos enteros $x,y$ .

2 Se da un triángulo cuyas alturas tienen longitudes $\frac{1}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{8}$ . Evalúe el área del triángulo.

3 Demuestre que el número $\left(\frac{76}{\frac{1}{\sqrt[3]{77}-\sqrt[3]{75}}-\sqrt[3]{5775}}+\frac{1}{\frac{76}{\sqrt[3]{77}+\sqrt[3]{75}}+\sqrt[3]{5775}}\right)^3$ es un entero.