1 Determine todas las funciones $f$ de valores reales definidas sobre el conjunto de los números reales que satisfacen \[2f(x)=f(x+y)+f(x+2y)\] para todos los números reales $x$ y todos los números reales no negativos $y$ .

2 Demuestre que el conjunto $S=\{\lfloor n\pi\rfloor \mid n=0,1,2,3,\ldots\}$ contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud finita, pero ninguna progresión aritmética infinita. Vasile Pop

1 Sea $\Delta ABC$ un triángulo. Las bisectrices interiores de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ABC$ intersecan a los segmentos $BC$ y $AC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Demuestre que \[DE\leq (3-2\sqrt{2})(AB+BC+CA).\]

3 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB<AC$ . La mediatriz del lado $BC$ corta al lado $AC$ en el punto $D$ , y la bisectriz (interior) del ángulo $ADB$ corta a la circunferencia circunscrita $ABC$ en el punto $E$ . Demuestre que la bisectriz (interior) del ángulo $AEB$ y la recta que pasa por los incentros de los triángulos $ADE$ y $BDE$ son perpendiculares.

3 Demuestra que para todo entero \(S\ge100\) existe un entero \(P\) para el cual la siguiente historia podría ser cierta: El matemático pregunta al dueño de la tienda: ``¿Cuánto cuestan la mesa, el armario y la estantería?'' El dueño responde: ``Cada artículo cuesta una cantidad entera positiva de euros. La mesa es más cara que el armario, y el armario es más caro que la estantería. La suma de los tres precios es \(S\) y su producto es \(P\).'' El matemático piensa y se queja: ``¡Esta información no es suficiente para determinar los tres precios!'' (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

1 Demuestre que hay infinitos números enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene dos divisores positivos cuya diferencia es $n$ . Amir

2 Sea $n$ un número entero mayor que $2$ , sean $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $n$ números reales positivos tales que \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}+1}=1\] y sea $k$ un número real mayor que $1$ . Demuestre que: \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}^{k}+1}\ge\frac{n}{(n-1)^{k}+1}\] y determine los casos de igualdad.

3 Dado un triángulo $ABC$ , sea $D$ el punto medio del lado $AC$ y sea $M$ el punto que divide al segmento $BD$ en la razón $1/2$ ; es decir, $MB/MD=1/2$ . Las semirrectas $AM$ y $CM$ cortan a los lados $BC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Suponga que las dos semirrectas son perpendiculares: $AM\perp CM$ . Demuestre que el cuadrilátero $AFED$ es cíclico si y solo si la mediana desde $A$ en el triángulo $ABC$ corta a la recta $EF$ en un punto situado sobre la circunferencia $ABC$ .

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las rectas $BC$ y $AD$ se cortan en un punto $P$ . Sea $Q$ el punto sobre la recta $BP$ , distinto de $B$ , tal que $PQ=BP$ . Considere los paralelogramos $CAQR$ y $DBCS$ . Demuestre que los puntos $C,Q,R,S$ están sobre una circunferencia.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AB=AC=BD$ (los vértices están etiquetados en orden circular). Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en el punto $O$ , las circunferencias $ABC$ y $ADO$ se cortan de nuevo en el punto $P$ , y las rectas $AP$ y $BC$ se cortan en el punto $Q$ . Demuestre que los ángulos $COQ$ y $DOQ$ son iguales.