1 Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ e incentro $I.$ Un punto $D$ está en el segmento $AC$ tal que $AB=AD,$ y la recta $BI$ corta a $AC$ en $E.$ Supón que la recta $CI$ corta a $BD$ en $F,$ y $G$ está en el segmento $DI$ tal que $FD=FG.$ Demuestra que las rectas $AG$ y $EF$ se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo $CEI.$ Propuesto por Avan Lim Zenn Ee, Malasia

4 Dados los enteros positivos \(a,b,\) encuentra el menor entero positivo \(m\) tal que entre cualesquiera \(m\) enteros distintos en el intervalo \([-a,b]\) haya tres números distintos por pares cuya suma sea cero. Propuesto por Marian Tetiva, Rumania.

3 $Abdulqodir$ recortó $2024$ $n$-ágonos regulares congruentes de una hoja de papel y colocó estos $n$-ágonos sobre la mesa de modo que algunas partes de cada uno de estos $n$-ágonos puedan quedar cubiertas por otros. Decimos que un vértice de uno de los $n$-ágonos mencionados es $visible$ si no está en el interior de otro $n$-ágono que esté colocado encima de él. Para cualquier $n>2$, determina el número mínimo posible de vértices visibles. Propuesto por David Hrushka, Eslovaquia

5 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+} \) tales que para todos los enteros \( a, b, c \) se cumple $$ af(bc)+bf(ac)+cf(ab)=(a+b+c)f(ab+bc+ac). $$ Nota. El conjunto \( \mathbb{Z^+} \) se refiere al conjunto de los enteros positivos. Propuesto por Mojtaba Zare, Irán

2 Considera sucesiones enteras crecientes con elementos de $1,\ldots,10^6$. Tal sucesión es Adriática si su primer elemento es igual a 1 y si cada elemento es al menos el doble del anterior. Una sucesión es Tirrena si su último elemento es igual a $10^6$ y si cada elemento es estrictamente mayor que la suma de todos los elementos anteriores. Decide si el número de sucesiones Adriáticas es menor, igual o mayor que el número de sucesiones Tirrenas. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

1 Sean $a_1,\ldots,a_n$ y $b_1\ldots,b_n$ $2n$ números reales. Demuestra que existe un entero $k$ con $1\le k\le n$ tal que $ \sum_{i=1}^n|a_i-a_k| ~~\le~~ \sum_{i=1}^n|b_i-a_k|.$ (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

2 En un triángulo agudo $\triangle ABC$, demuestra que \begin{align*} \frac{1}{3}\left(\frac{\tan^2A}{\tan B\tan C}+\frac{\tan^2 B}{\tan C\tan A}+\frac{\tan^2 C}{\tan A\tan B}\right) \\ +3\left(\frac{1}{\tan A+\tan B+\tan C}\right)^{\frac{2}{3}}\ge 2. \end{align*}

4 En el triángulo $ABC$ sean $A'$ , $B'$ , $C'$ los puntos medios de los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Además, sean $L$ , $M$ , $N$ las proyecciones del ortocentro sobre los tres lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , y sea $k$ el círculo de los nueve puntos. Las rectas $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ cortan a $k$ en los puntos $D$ , $E$ , $F$ . Las tangentes a $k$ en $D$ , $E$ , $F$ cortan a las rectas $MN$ , $LN$ y $LM$ en los puntos $P$ , $Q$ , $R$ . Demuestra que $P$ , $Q$ y $R$ están alineados.

1 Para un número real $\alpha>0$, considera la sucesión real infinita definida por $x_1=1$ y \[ \alpha x_n = x_1+x_2+\cdots+x_{n+1} \mbox{\qquad para } n\ge1. \] Determina el menor $\alpha$ para el cual todos los términos de esta sucesión son reales positivos. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

2 (a) Decide si existen dos dígitos decimales $a$ y $b$, tales que todo entero con representación decimal $ab222 ... 231$ sea divisible por $73$. (b) Decide si existen dos dígitos decimales $c$ y $d$, tales que todo entero con representación decimal $cd222... 231$ sea divisible por $79$.