7 Suponga que $\{a_n\}$ es una sucesión tal que $a_{n+1}=(1+\frac{k}{n})a_{n}+1$ con $a_{1}=1$ . Halle todos los enteros positivos $k$ tales que todo $a_n$ sea un entero.

6 El punto $I$ es el centro de una circunferencia inscrita en un triángulo escaleno $ABC$ . El rayo $AI$ corta a la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ en el punto $D$ . La circunferencia que pasa por los puntos $C$ , $D$ e $I$ corta nuevamente al rayo $BI$ en el punto $K$ . Demuestre que $BK = CK$ .

5 Halle todos los pares $(n,p)$ de números naturales $n$ y números primos $p$ que satisfacen la igualdad $p(p-1) = 2(n^3 + 1)$ .

3 Demuestre que: (1) Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el mayor factor primo de $n^2+1$ es menor que $n.$ (2) Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ divide a $n!$ .

1 Se dan tres números primos $p,q,r$ y un entero positivo $n$ tales que los números \[ \frac{p+n}{qr}, \frac{q+n}{rp}, \frac{r+n}{pq} \] son enteros. Demuestre que $p=q=r $ . Nazar Agakhanov

6 Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y $c$ la longitud de la hipotenusa. Halle el valor mínimo de $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ .

5 Suponga que $n$ es un entero positivo y que el entero $a$ es una raíz de la ecuación $$x^4+3ax^2+2ax-2\times 3^n=0.$$ Halle todos los $n$ y $ a$ que satisfacen las condiciones.

4 En una circunferencia de radio $1$ se trazan $n$ segmentos con una longitud total de $2\sqrt{n}$ . Demuestre que existe una circunferencia cuyo centro coincide con el centro de la circunferencia dada y que corta al menos a dos de los segmentos trazados.

3 Halle todos los pares $(f, h)$ de funciones $f$ y $h$ definidas en un conjunto de números reales con valores reales tales que para cualesquiera números reales $x$ e $y$ se cumple la igualdad $$f(x^2 + yh(x)) = xh(x) + f(xy).$$

2 Dados los números positivos $a, b, c$ . Halle el mayor número real $x$ para el cual existen números positivos $p$ , $q$ y $r$ tales que $p + q + r = 1$ y $x$ no supera a ninguno de los números $a \frac{p}{q}$ , $b\frac{q}{r}$ , $c\frac{r}{p}$ .