1 Halle todos los números primos $p, q$ y r con $p < q < r$ , tales que $25pq + r = 2004$ y $pqr + 1 $ es un cuadrado perfecto.

2 Halle el número máximo de enteros positivos tales que cualesquiera dos de ellos $a, b$ (con $a \ne b$ ) satisfacen que $ |a - b| \ge \frac{ab}{100} .$

$\mathcal F\subseteq p(X)$$|X|=n$$A_i,A_j\in \mathcal F$$A_i\supseteq A_j$$3\le |A_i|-|A_j|$$|\mathcal F|\le \lfloor\frac{2^n}{3}+\frac{1}{2}\dbinom{n}{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\rfloor$

Escriba los números naturales de izquierda a derecha en orden ascendente. Cada minuto, realizamos una operación. Después de $m$ minutos, dividimos toda la serie disponible en bloques consecutivos de $m$ números. Dejamos el primer bloque sin cambios y en cada uno de los demás bloques movemos todos los números excepto el primero un lugar hacia la izquierda, y movemos el primero al final del bloque. Demuestre que a lo largo del proceso, cada número natural se moverá solo un número finito de veces.

5 Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ dos circunferencias tales que el centro $O$ de $\omega_2$ está sobre $\omega_1$ . Sean $C$ y $D$ los dos puntos de intersección de las circunferencias. Sea $A$ un punto de $\omega_1$ y sea $B$ un punto de $\omega_2$ tales que $AC$ es tangente a $\omega_2$ en C y BC es tangente a $\omega_1$ en $C$ . El segmento $AB$ corta de nuevo a $\omega_2$ en $E$ y también corta de nuevo a $\omega_1$ en F. La recta $CE$ corta de nuevo a $\omega_1$ en $G$ y la recta $CF$ corta a la recta $GD$ en $H$ . Demuestre que el punto de intersección de $GO$ y $EH$ es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $DEF$ .

1 Una pieza de mosaico de una mezquita en la ciudad de Isfahán se muestra abajo. La figura está formada por cinco tipos diferentes de polígonos. Consiste en un pentágono regular y un decágono regular, con todos los lados de igual longitud. Los hexágonos en la figura tienen cuatro ángulos iguales, y los otros dos ángulos también son iguales. Encuentra las medidas de los ángulos marcados. https://i.imgur.com/5UNiiY5.jpeg Propuesto por Mahdi Norouzi - Irán

4 Al final de un torneo de fútbol en el que cualquier par de equipos jugó entre sí exactamente una vez, y en el que no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos $A, B$ y C, si $A$ venció a $B$ y $B$ venció a $C$ , entonces $A$ venció a $C$ . Cada equipo calculó la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas estas diferencias fue $5000$ . ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Halle todas las respuestas posibles.

5 Sea $N$ un entero mayor que $1$ . Una baraja tiene $N^3$ cartas; cada carta tiene uno de $N$ colores, una de $N$ figuras y uno de $N$ números (no hay dos cartas idénticas). Una colección de cartas de la baraja es «completa» si tiene cartas de todos los colores, o si tiene cartas de todas las figuras o de todos los números. ¿Cuántas colecciones no completas hay tales que, si se añade cualquier otra carta de la baraja, la colección se vuelve completa?

4 Una lista de números $a_1,a_2,\ldots,a_m$ contiene un trío aritmético $a_i, a_j, a_k$ si $i < j < k$ y $2a_j = a_i + a_k$ . Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que los números $1, 2, 3, \ldots, n$ pueden reordenarse en una lista que no contenga tríos aritméticos.

4 Se dan dos enteros positivos $k$ y $n$ con $k \le n \le 2k - 1$ . Julián tiene una gran pila de fichas rectangulares de $k \times 1$ . Merlín dice un entero positivo $m$ y recibe $m$ fichas de Julián para colocarlas sobre un tablero de $n \times n$ . Julián primero escribe en cada ficha si debe ser una ficha horizontal o una ficha vertical. Las fichas usadas no deben superponerse ni sobresalir del tablero. ¿Cuál es el mayor número $m$ que Merlín puede decir si quiere asegurarse de que puede colocar todas las fichas sobre el tablero de acuerdo con la regla de Julián?