G5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, centroide $G$ y circunferencia circunscrita $\omega$. Sean $D$ y $M$ las intersecciones de las rectas $AH$ y $AG$ con el lado $BC$, respectivamente. Los rayos $MH$ y $DG$ cortan a $\omega$ nuevamente en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que $PD$ y $QM$ se intersectan sobre $\omega$.

G6 Construye hacia afuera del triángulo acutángulo $ABC$ los triángulos isósceles $ABA_B, ABB_A , ACA_C,ACC_A ,BCB_C$ y $BCC_B$ , de modo que $$AB = AB_A = BA_B, AC = AC_A=CA_C, BC = BC_B = CB_C$$ y $$\angle BAB_A = \angle ABA_B =\angle CAC_A=\angle ACA_C= \angle BCB_C =\angle CBC_B = a < 90^o$$ . Demuestra que las perpendiculares desde $A$ a $B_AC_A$ , desde $B$ a $A_BC_B$ y desde $C$ a $A_CB_C$ son concurrentes.

G7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\ne AC$ y circunferencia circunscrita $\omega$. La bisectriz del ángulo $BAC$ interseca a $BC$ y a $\omega$ en $D$ y $E$, respectivamente. La circunferencia con diámetro $DE$ interseca a $\omega$ nuevamente en $F \ne E$. El punto $P$ está sobre $AF$ tal que $PB = PC$, y $X$ y $Y$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $AB$ y $AC$, respectivamente. Sean $H$ y $H'$ los ortocentros de $ABC$ y $AXY$, respectivamente. $AH$ se encuentra con $\omega$ nuevamente en $Q$. Si $AH'$ y $HH'$ intersecan la circunferencia con diámetro $AH$ nuevamente en los puntos $S$ y $T$, respectivamente, demuestra que las rectas $AT$, $HS$ y $FQ$ son concurrentes.

G8 Dado un triángulo acutángulo $ABC$ ( $AC\ne AB$ ) y sea $(C)$ su circunferencia circunscrita. La excircunferencia $(C_1)$ correspondiente al vértice $A$ , de centro $I_a$ , es tangente al lado $BC$ en el punto $D$ y a las prolongaciones de los lados $AB,AC$ en los puntos $E,Z$ respectivamente. Sean $I$ y $L$ los puntos de intersección de las circunferencias $(C)$ y $(C_1)$ , $H$ el ortocentro del triángulo $EDZ$ y $N$ el punto medio del segmento $EZ$ . La recta paralela por el punto $l_a$ a la recta $HL$ corta a la recta $HI$ en el punto $G$ . Demuestra que la recta perpendicular $(e)$ por el punto $N$ a la recta $BC$ y la recta paralela $(\delta)$ por el punto $G$ a la recta $IL$ se cortan sobre la recta $HI_a$ .

N1 Encuentra todos los pares ordenados de enteros positivos $(x, y)$ tales que: $$x^3+y^3=x^2+42xy+y^2.$$

N2 Encuentra todas las funciones $f :Z_{>0} \to Z_{>0}$ tales que el número $xf(x) + f ^2(y) + 2xf(y)$ es un cuadrado perfecto para todos los enteros positivos $x,y$ .

Demuestra que para todo entero positivo $n$, existe un entero positivo $m$ tal que $7^n \mid 3^m + 5^m - 1$.

N4 Encuentra todos los pares de enteros positivos $(x,y)$ tales que $x^2$ es divisible por $2xy^2 -y^3 +1$ .

Dado un entero positivo impar $n$ , demuestra que la media aritmética de las partes fraccionarias $\{\frac{k^{2n}}{p}\}, k=1,..., \frac{p-1}{2}$ es la misma para infinitos primos $p$ .

4 Encuentra todos los enteros positivos \( k \) con la siguiente propiedad: Existe un entero \( a \) tal que \( (a+k)^{3}-a^{3} \) es un múltiplo de \( 2007 \) . Yimin