6 Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores positivos de un número $n$. Se da un entero positivo $N=2^rb$, donde $r$ y $b$ son enteros positivos y $b$ es impar. Se sabe que $\sigma(N)=2N-1$. Demuestra que $b$ y $\sigma(b)$ son coprimos. Tuymaada Q6 Juniors

3 Igual que junior

7 Un punto $E$ se encuentra sobre la extensión del lado $AD$ del rectángulo $ABCD$ más allá de $D$. El rayo $EC$ corta a la circunferencia circunscrita $\omega$ de $ABE$ en el punto $F \ne E$. Los rayos $DC$ y $AF$ se cortan en $P$. $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $C$ a la recta $\ell$ que pasa por $E$ y es paralela a $AF$. Demuestra que la recta $PH$ es tangente a $\omega$. (A. Kuznetsov)

5 ¿Existe un trinomio cuadrático $f(x)$ tal que $f(1/2017)=1/2018$, $f(1/2018)=1/2017$, y dos de sus coeficientes son enteros? (A. Khrabrov)

4 Hay 25 máscaras de colores distintos. \(k\) sabios juegan el siguiente juego. Se les muestran todas las máscaras. Luego los sabios acuerdan su estrategia. Después se les ponen las máscaras de modo que cada sabio ve las máscaras de los demás pero no puede ver quién lleva cada máscara y no ve su propia máscara. No se permite comunicación alguna. Entonces cada uno de ellos nombra simultáneamente un color intentando adivinar el color de su máscara. Encuentra el \(k\) mínimo para el cual los sabios pueden ponerse de acuerdo de modo que al menos uno de ellos adivine con seguridad el color de su máscara. (S. Berlov)

6 Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores positivos de un número $n$. Se da un entero positivo $N=2^r b$, donde $r$ y $b$ son enteros positivos y $b$ es impar. Se sabe que $\sigma(N)=2N-1$. Demuestra que $b$ y $\sigma(b)$ son primos relativos. (J. Antalan, J. Dris)

8 Se dan dos puntos $A$ y $B$ en el plano. Un punto $X$ se llama su punto medio preposteroso si existe un sistema de coordenadas cartesianas en el plano tal que las coordenadas de $A$ y $B$ en este sistema son no negativas, la abscisa de $X$ es la media geométrica de las abscisas de $A$ y $B$, y la ordenada de $X$ es la media geométrica de las ordenadas de $A$ y $B$. Encuentra el lugar geométrico de todos los puntos medios preposterosos de $A$ y $B$. (K. Tyschu)

Los números $1, 2, 3, \dots, 1024$ están escritos en un pizarrón. Se dividen en pares. Luego, cada par se borra del pizarrón y en su lugar se escribe la diferencia no negativa de sus números. Los $512$ números obtenidos de esta manera se dividen en pares y así sucesivamente. Después de diez operaciones de este tipo, queda un número en el pizarrón. Determina todos sus valores posibles. Propuesto por A. Golovanov

2 Xenia y Sergey juegan el siguiente juego. Xenia piensa en un entero positivo $N$ que no excede $5000$. Luego fija $20$ enteros positivos distintos $a_1, a_2, \cdots, a_{20}$ tales que, para cada $k = 1,2,\cdots,20$, los números $N$ y $a_k$ son congruentes módulo $k$. En un movimiento, Sergey le dice a Xenia un conjunto $S$ de enteros positivos que no exceden $20$, y ella le responde con el conjunto $\{a_k : k \in S\}$ sin especificar qué número corresponde a qué índice. ¿Cuántos movimientos necesita Sergey para determinar con certeza el número que Xenia pensó? Sergey Kudrya, Rusia

3 Un total de $17$ trabajadores están en fila. Cada grupo contiguo de al menos $2$ trabajadores es una $\textit{brigada}$. El jefe quiere asignar a cada brigada un líder (que sea miembro de la brigada) de modo que el número de asignaciones de cada trabajador sea divisible por $4$. Demuestra que el número de formas de asignar los líderes es divisible por $17$. Mijaíl Antípov, Rusia