4. Considere un paralelogramo $ABCD$ donde $AB>AD$ . Sean $X$ y $Y$ , distintos de $B$ , puntos del rayo $BD^\rightarrow$ tales que $CX=CB$ y $AY=AB$ . Demuestre que $DX=DY$ . Nota: La notación $BD^\rightarrow$ denota el rayo que se origina en el punto $B$ y pasa por el punto $D$ .

5. En cada casilla de una tabla $4\times 4$ se escribe uno de los números $1$ o $2$ . Para cada fila, calcule la suma de los números escritos en ella, y para cada columna, calcule el producto de los números escritos en ella. Demuestre que dos de los ocho resultados obtenidos son iguales.

Resuelva el sistema de ecuaciones: $$\left\{ \begin{array}{l} ({x^2} + y)\sqrt {y - 2x} - 4 = 2{x^2} + 2x + y\\ {x^3} - {x^2} - y + 6 = 4\sqrt {x + 1} + 2\sqrt {y - 1} \end{array} \right.(x,y \in \mathbb{R}).$$

Se da la sucesión $(u_n)$ que satisface: $$\left\{ \begin{array}{l} 1 \le {u_1} \le 3\\ {u_{n + 1}} = 4 - \dfrac{{2({u_n} + 1)}}{{{2^{{u_n}}}}},\forall n \in \mathbb{Z^+}. \end{array} \right.$$ Demuestre que: $1\le u_n\le 3,\forall n\in \mathbb{Z^+}$ y halle el límite de $(u_n).$

Se da un polinomio $P(x)$ con coeficientes reales que satisface: $$P(x).P(x+1)=P(x^2+x+1),\forall x\in \mathbb{R}.$$ Demuestre que: $\deg(P)$ es un número par y halle $P(x).$

a) Halle todos los pares de enteros $(x,y)$ que satisfacen $x^4+(y+2)^3=(x+2)^4.$ b) Demuestre que: si $p$ es un primo de la forma $p=4k+3$ $(k$ es un número no negativo $),$ entonces no existen $p-1$ enteros no negativos consecutivos tales que podamos dividir el conjunto de estos números en $2$ subconjuntos distintos de modo que el producto de todos los números de un subconjunto sea igual al del subconjunto restante.

a) Se da un triángulo acutángulo $ABC(AB>AC).$ El círculo $(O)$ con diámetro $BC$ interseca a $AB,AC$ en $F,E$ , respectivamente. Sea $H$ el punto de intersección de $BE,CF,$ la recta $AH$ interseca a la recta $BC$ en $D,$ la recta $EF$ interseca a la recta $BC$ en $K.$ La recta que pasa por $D$ y es paralela a $EF$ interseca a $AB,AC$ en $M,N,$ respectivamente. Demuestre que: $M,O,N,K$ están sobre el mismo círculo. b) Se da $\triangle ABC, \angle BAC=\angle BCA=30^{\circ}.$ $D,E,F$ son puntos móviles sobre los lados $AB,BC,CA$ tales que: $\angle BFD=\angle BFE=60^{\circ}.$ Sean $p,p_1$ los perímetros de $\triangle ABC,\triangle DEF,$ respectivamente. Demuestre que: $p\le 2p_1.$

Coloreamos todos los vértices de un polígono convexo con $10$ vértices con $2$ colores: rojo y azul $($ cada vértice se colorea con $1$ color $).$ ¿De cuántas maneras se pueden colorear todos los vértices de modo que no haya $2$ vértices adyacentes coloreados ambos de rojo?

En la ciudad $ A,$ hay $ n$ niñas y $ n$ niños, y cada niña conoce a cada niño. En la ciudad $ B,$ hay $ n$ niñas $ g_1, g_2, \ldots, g_n$ y $ 2n - 1$ niños $ b_1, b_2, \ldots, b_{2n-1}.$ La niña $ g_i,$ $ i = 1, 2, \ldots, n,$ conoce a los niños $ b_1, b_2, \ldots, b_{2i-1},$ y a ningún otro. Para todo $ r = 1, 2, \ldots, n,$ denótese por $ A(r),B(r)$ el número de maneras diferentes en que $ r$ niñas de la ciudad $ A,$ respectivamente de la ciudad $ B,$ pueden bailar con $ r$ niños de su propia ciudad, formando $ r$ parejas, cada niña con un niño al que conoce. Demuestre que $ A(r) = B(r)$ para cada $ r = 1, 2, \ldots, n.$ .

Sean $ b, m, n$ enteros positivos tales que $ b > 1$ y $ m \neq n.$ Demuestre que si $ b^m - 1$ y $ b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos, entonces $ b + 1$ es una potencia de 2. sam-n