10.4 Dado un paralelogramo $ABCD$ . La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ con centro $I$ toca a $AB,BC,CA$ en $R,P,Q$ . El rayo $DI$ interseca al segmento $AB$ en $S$ . Resulta que $\angle DPR=90$ . Demuestre que la circunferencia con diámetro $AS$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $DPQ$ . M. Zorka

10.2 Algunos vértices de un polígono regular de $2024$ lados están marcados de modo que, para cualquier polígono regular todos cuyos vértices son vértices del polígono de $2024$ lados, al menos uno de sus vértices está marcado. Halle el número mínimo posible de vértices marcados. A. Voidelevich

9.4 En cierta compañía formada por $n$ personas, cualesquiera dos tienen a lo sumo $k \geq 2$ amigos comunes. Llamemos insociable a un grupo de personas de la compañía si cada persona del grupo tiene a lo sumo un amigo dentro del grupo. Demuestre que existe un grupo insociable formado por al menos $\sqrt{\frac{2n}{k}}$ personas. M. Zorka

10.3 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todo $x,y \in \mathbb{R}$ se cumple la siguiente ecuación: $$1+f(xy)=f(x+f(y))+(y-1)f(x-1)$$ . M. Zorka

10.6 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Las rectas tangentes a $\omega$ en los puntos $A$ y $C$ se intersecan en $K$ . La recta $BK$ interseca a $\omega$ por segunda vez en $M$ . Sobre la recta $BC$ se elige un punto $N$ tal que $\angle BAN = 90$ . La recta $MN$ interseca a $\omega$ por segunda vez en $D$ . Demuestre que $BD=BC$ . P. Chernikova

10.7 Llamemos interesante a un par de enteros positivos $(k,n)$ si $n$ es compuesto y, para todo divisor $d<n$ de $n$ , al menos uno de $d-k$ y $d+k$ es también un divisor de $n$ . Halle el número de pares interesantes $(k,n)$ con $k \leq 100$ . M. Karpuk

10.8 Un hexágono regular de lado $n$ está dividido en losetas de tres tipos, que se muestran en la imagen, las cuales son rombos de lado $1$ cada uno y ángulo agudo $60$ . En un movimiento se pueden elegir tres losetas, dispuestas como se muestra en la imagen de la izquierda, y reacomodarlas como se muestra en la imagen de la derecha https://iili.io/dxEvyqN.jpg . Los movimientos se realizan hasta que sea imposible hacer un movimiento. a) Demuestre que, para una disposición inicial fija de las losetas, se realizaría la misma cantidad de movimientos independientemente de los movimientos. b) Para cada entero positivo $n$ , halle el número máximo de movimientos entre todas las disposiciones iniciales posibles. M. Zorka

11.1 Sean $m$ y $n$ dos enteros mayores que $1$ . Se eligen $m+n$ enteros positivos que no superan a $mn-1$ . Demuestre que entre ellos se pueden encontrar $x \neq y$ que satisfacen $\lfloor \frac{x}{n} \rfloor = \lfloor \frac{y}{n} \rfloor$ y $\lfloor \frac{x}{m} \rfloor = \lfloor \frac{y}{m} \rfloor$ . A. Voidelevich

11.2 Dados $29$ polinomios cuadráticos $f_1(x), \ldots, f_{29}(x)$ y $15$ números reales $x_1<x_2<\ldots<x_{15}$ . Demuestre que para algunos dos de los polinomios dados $f_i(x)$ y $f_j(x)$ se cumple la siguiente desigualdad: $$\sum_{k=1}^{14} (f_i(x_{k+1})-f_i(x_k))(f_j(x_{k+1})-f_j(x_k))>0$$ . A. Voidelevich

11.3 En un triángulo $ABC$ , el punto $I$ es el incentro, $I_A$ el excentro, y $W$ el punto medio del arco $BAC$ de la circunferencia circunscrita $\omega$ de $ABC$ . El punto $H$ es la proyección de $I_A$ sobre $IW$ . La recta tangente a la circunferencia circunscrita $BIC$ en el punto $I$ interseca a $\omega$ en $E, F$ . Demuestre que la mediatriz de $AI$ es tangente a la circunferencia circunscrita $EFH$ . M. Zorka