7 Suponga tres direcciones en el plano . Dibujamos $ 11$ rectas en cada dirección . Halle el máximo número de puntos del plano que están sobre tres rectas .

6 Tenemos un camino cerrado sobre los vértices de un cuadrado de $ n$ × $ n$ que pasa por cada vértice exactamente una vez . Demuestre que existen dos vértices adyacentes tales que si cortamos el camino en estos puntos, entonces la longitud de cada una de las partes no es menor que la cuarta parte del camino total .

1b En Duckville hay un trofeo perpetuo con las palabras "Mejor niño de Duckville" grabadas en él. Cada habitante de Duckville tiene una lista no vacía (que nunca cambia) de otros habitantes de Duckville. Quien recibe el trofeo puede quedárselo por un día, y luego se lo pasa a alguien de su lista al día siguiente. Gregers ha recibido el trofeo anteriormente. Resulta que cada vez que lo recibe, tiene garantizado recibirlo de nuevo exactamente $2025$ días después (pero quizás también antes). Hedvig recibió el trofeo hoy. Determina todos los enteros $n>0$ para los cuales podemos estar absolutamente seguros de que ella no puede recibir el trofeo de nuevo en $n$ días, dada la información anterior.

6 En el triángulo $ABC$ , $D$ es un punto variable sobre la recta $BC$ . Los puntos $E,F$ se encuentran en los segmentos $AC, AB$ respectivamente, tales que $BF=BD$ y $CD=CE$ . Las circunferencias $(AEF)$ y $(ABC)$ se cortan nuevamente en $S$ . Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $P$ y las circunferencias $(PDS)$ y $(AEF)$ se cortan nuevamente en $Q$ . Demuestre que, cuando $D$ varía, el conjugado isogonal de $Q$ con respecto al triángulo $ ABC$ se encuentra sobre una circunferencia fija. Propuesto por Serdar Bozdag

3 Sea $p_n$ el $n$ -ésimo primo ( $p_1=2$ ). Defina la sucesión $(f_j)$ de la siguiente manera: - $f_1=1, f_2=2$ - $\forall j\ge 2$ : si $f_j = kp_n$ con $k<p_n$ entonces $f_{j+1}=(k+1)p_n$ - $\forall j\ge 2$ : si $f_j = p_n^2$ entonces $f_{j+1}=p_{n+1}$ (a) Demuestre que todos los $f_i$ son diferentes (b) ¿a partir de qué índice todos los $f_i$ tienen al menos 3 cifras? (c) ¿qué enteros no aparecen en la sucesión? (d) ¿cuántos números con menos de 3 cifras aparecen en la sucesión?

2012 g2 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $O$ su circuncentro. Las rectas $AI$ , $BI$ y $CI$ se encuentran con la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABC$ en $D$ , $E$ y $F$ . Los puntos medios de $EF$ , $FD$ y $DE$ se denotan por $ L$ , $M$ y $N$ , respectivamente. Sea $P$ el circuncentro de $\vartriangle LMN$ . Demuestre que $P$ , $O$ y $I$ son colineales.

2 Sea $ABC$ un triángulo. Un punto $D$ yace sobre la recta $BC$ y los puntos $E,F$ se toman sobre $AC,AB$ tales que $DE \parallel AB$ y $DF\parallel AC$ . Sean $G = (AEF) \cap (ABC) \neq A$ e $I = (DEF) \cap BC\neq D$ . Sean $H$ y $O$ el ortocentro y el circuncentro del triángulo $DEF$ . Demuestre que $A,O,I$ son colineales si y solo si $G,H,I$ son colineales. Propuesto por Kaan Bilge

9 Para todo entero $m\ge 1$ , sea $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros módulo $m$ . Sea $p$ un primo fijo y sean $a\ge 2$ y $e\ge 1$ enteros fijos. Dada una función $f\colon \mathbb{Z}/a\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}$ y un entero $k\ge 0$ , la $k$ -ésima diferencia finita , denotada $\Delta^k f$ , es la función de $\mathbb{Z}/a\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}$ definida recursivamente por \begin{align*} \Delta^0 f(n)&=f(n)\\ \Delta^k f(n)&=\Delta^{k-1}f(n+1)-\Delta^{k-1}f(n) & \text{for } k=1,2,\dots. \end{align*} Determine el número de funciones $f$ para las cuales existe algún $k\ge 1$ con $\Delta^kf=f$ . Holden Mui

2 Sea $[mn]$ un diámetro del círculo $C$ y $[AB]$ una cuerda de longitud dada sobre este círculo. $[AB]$ no coincide ni es perpendicular a $[MN]$ . Sean $C,D$ las proyecciones ortogonales de $A$ y $B$ sobre $[MN]$ y $P$ el punto medio de $[AB]$ . Demuestre que $\angle CPD$ no depende de la cuerda $[AB]$ .

4 Se dan un entero positivo $n\geq 2$ y números reales positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ con suma igual a $1$ . Sea $b = a_1 + 2a_2 + \ldots + n a_n$ . Demuestre que $$\sum_{1\leq i < j \leq n} (i-j)^2 a_i a_j \leq (n-b)(b-1).$$