Determine los enteros $n\geqslant 2$ para los cuales la ecuación $x^2-\hat{3}\cdot x+\hat{5}=\hat{0}$ tiene una única solución en $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot).$

Considere la matriz $X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ que satisface $X^{2022}=X^{2023}.$ Demuestre que $X^2=X^3.$

5 Decimos que un entero positivo $n$ es circular si es posible colocar los números $1, 2, \cdots , n$ en una circunferencia de modo que no haya tres números adyacentes cuya suma sea un múltiplo de 3. a) Demuestra que 9 no es circular b) Demuestra que cualquier entero mayor que 9 es circular.

2 a) Determina si existen enteros positivos $a, b$ y $c$, no necesariamente distintos, tales que $a+b+c=2020$ y $2^a+2^b+2^c$ sea un cuadrado perfecto. b) Determina si existen enteros positivos $a, b$ y $c$, no necesariamente distintos, tales que $a+b+c=2020$ y $3^a+3^b+3^c$ sea un cuadrado perfecto.

2025.3 Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle ABC>90^{\circ}$. Se construye un cuadrado $ABEF$ externamente sobre el lado $AB$. Sea $F'$ la reflexión del punto $F$ respecto a la recta $DE$. Determina la medida de $\angle BF'C$.

4 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$). Determina el área del triángulo $ABC$ si $PM = 1$ y $MC = 5$.

2022.5 Los vértices de un polígono regular de $N$ lados están marcados en el pizarrón. Ana y Beto juegan alternadamente, Ana comienza. Cada jugador, en su turno, debe hacer lo siguiente: $\bullet$ unir dos vértices con un segmento, sin cortar otro segmento ya marcado; o $\bullet$ borrar un vértice que no pertenezca a ningún segmento marcado. El jugador que no pueda hacer ninguna acción en su turno pierde el juego. Determina cuál de los dos jugadores puede garantizar la victoria: a) si $N=28$ b) si $N=29$

2021.3 Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ un punto dentro del triángulo tal que $\angle DBC=60^{\circ}$ y $\angle DCB=\angle DAB=30^{\circ}$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $BC$, respectivamente. Demuestra que $\angle DMN=90^{\circ}$.

3 Hay una caja con 2020 piedras. Ana y Beto juegan alternadamente quitando piedras de la caja, comenzando con Ana. Cada jugador en su turno debe quitar un número positivo de piedras que sea capicúa. Quien deja la caja vacía gana. Determina cuál de los dos tiene una estrategia ganadora y explica cuál es esa estrategia. $Nota: $ Un entero positivo es capicúa si se puede leer igual de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Por ejemplo, 3, 22, 484 y 2002 son capicúas.

2022.3 Sea $ABCD$ un cuadrado, $E$ un punto sobre el lado $CD$, y $F$ un punto dentro del cuadrado tal que el triángulo $BFE$ es isósceles y $\angle BFE = 90^o$. Si $DF=DE$, encuentra la medida del ángulo $\angle FDE$.