5 La recta $\ell$ interseca los lados $BC$ y $AD$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ en sus puntos interiores $R$ y $S$ , respectivamente, e interseca el rayo $DC$ más allá del punto $C$ en $Q$ , y el rayo $BA$ más allá del punto $A$ en $P$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $QCR$ y $QDS$ se intersecan en $N \neq Q$ , mientras que las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAS$ y $PBR$ se intersecan en $M\neq P$ . Las rectas $MP$ y $NQ$ se cortan en el punto $X$ , las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en el punto $K$ y las rectas $BC$ y $AD$ se cortan en el punto $L$ . Demuestre que el punto $X$ se encuentra sobre la recta $KL$ .

2 Una sucesión de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todo entero $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna sucesión kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma sucesión kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.

4 En una tabla de dimensiones $2n \times 2n$ hay enteros positivos no mayores que $10$ , tales que los números que se encuentran en casillas unitarias con un vértice común son coprimos. Demuestre que existe al menos un número que aparece en la tabla al menos $\frac{2n^2}{3}$ veces

2 Se da un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro en el punto $H$ . Demuestre que $$AH \cdot h_a+BH \cdot h_b+CH \cdot h_c=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$$ donde $a$ , $b$ y $c$ son los lados del triángulo, y $h_a$ , $h_b$ y $h_c$ las alturas de $ABC$

3 Problema 3 para el grado

3 Sea $N$ un entero positivo, y considere una cuadrícula de $N \times N$ . Un camino derecha-abajo es una sucesión de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda debajo de la celda anterior en la sucesión. Un camino derecha-arriba es una sucesión de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda encima de la celda anterior en la sucesión. Demuestre que las celdas de la cuadrícula de $N \times N$ no pueden particionarse en menos de $N$ caminos derecha-abajo o derecha-arriba. Por ejemplo, la siguiente partición de la cuadrícula de $5 \times 5$ usa $5$ caminos. [asy] size(4cm); draw((5,-1)--(0,-1)--(0,-2)--(5,-2)--(5,-3)--(0,-3)--(0,-4)--(5,-4),gray+linewidth(0.5)+miterjoin); draw((1,-5)--(1,0)--(2,0)--(2,-5)--(3,-5)--(3,0)--(4,0)--(4,-5),gray+linewidth(0.5)+miterjoin); draw((0,0)--(5,0)--(5,-5)--(0,-5)--cycle,black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((0,-1)--(3,-1)--(3,-2)--(1,-2)--(1,-4)--(4,-4)--(4,-3)--(2,-3)--(2,-2),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((3,0)--(3,-1),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((1,-4)--(1,-5),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((4,-3)--(4,-1)--(5,-1),black+linewidth(2.5)+miterjoin); [/asy] Propuesto por Zixiang Zhou, Canadá

1 En el triángulo $ABC$ la circunferencia inscrita toca a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ , respectivamente. Denote los ortocentros de los triángulos $AC_1B_1$ y $CA_1B_1$ por $H_1$ y $H_2$ . Demuestre que el cuadrilátero $AH_1H_2C$ es cíclico.

3 Sea $n \geq 2$ un entero. Defina $x_i =1$ o $-1$ para cada $i=1,2,3,\cdots, n$ . Llamemos adhesión a la operación que transforma la cadena $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ en $(x_1x_2, x_2x_3, \cdots ,x_{n-1}x_n, x_nx_1)$ . Halle todos los enteros $n \geq 2$ tales que la cadena $(x_1,x_2,\cdots, x_n)$ se transforma en $(1,1,\cdots,1)$ después de un número finito de operaciones de adhesión. Ovchinnikov

2 La bisectriz del ángulo en el vértice $A$ del triángulo acutángulo $ABC$ interseca al lado $BC$ en el punto $D$ , y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $E$ (distinto de $A$ ) . Sean $F$ y $G$ los pies de las perpendiculares desde el punto $D$ a los lados $AB$ y $AC$ . Demuestre que el área del cuadrilátero $AEFG$ es igual al área del triángulo $ABC$

3 Considera funciones \( f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) que satisfacen (i) \( f(x) \geq 0 \) para todo \( x \) en \( [0,1] \), (ii) \( f(1) = 1 \), (iii) \( f(x) + f(y) \leq f(x+y) \) siempre que \( x, y \) y \( x+y \) estén todos en \( [0,1] \). Encuentra, con demostración, la constante más pequeña \( c \) tal que \[ f(x) \leq cx \] para toda función \( f \) que satisfaga (i)-(iii) y para todo \( x \) en \( [0,1] \).