2 Determine todas las $4$ - tuplas $(a,b, c, d)$ de números reales positivos que satisfacen $a + b +c + d = 1$ y $\max (\frac{a^2}{b},\frac{b^2}{a}) \cdot \max (\frac{c^2}{d},\frac{d^2}{c}) = (\min (a + b, c + d))^4$

1 Dado un entero positivo impar $n$ . Halle el valor de $$ \sum_\pi \prod_{i=1}^n (\pi(i)-i), $$ donde $\{\pi(i)\}_{i=1}^n$ es una permutación de $\{1,2,\ldots,n\}$ , y la suma recorre todas esas permutaciones.

2 ¿Es posible que, mediante las siguientes transformaciones: \[ f(x) \mapsto x^2 \cdot f \left(\frac{1}{x}+1 \right) \ \ \ \text{or} \ \ \ f(x) \mapsto (x-1)^2 \cdot f\left(\frac{1}{x-1} \right)\] la función $f(x)=x^2+5x+4$ se transforme en la función $g(x)=x^2+10x+8$ ?

Llamemos trominó a un rectángulo de 1×3. Alicia y Bob van a habitaciones diferentes, y cada uno divide un tablero de 20 × 21 en trominós. Luego comparan los resultados, calculan cuántos trominós coinciden en ambas divisiones, y Alicia le paga a Bob ese número de dólares. ¿Cuál es la cantidad máxima que Bob puede asegurarse sin importar cómo juegue Alicia? hello-123

2 Decimos que un entero positivo $n$ es $m$ -expresable si es posible obtener $n$ a partir de algunos $m$ dígitos y las seis operaciones $+,-,\times,\div$ , la exponenciación $^\wedge$ y la concatenación $\oplus$ . Por ejemplo, $5625$ es $3$ -expresable (de dos maneras): tanto $5\oplus (5^\wedge 4)$ como $(7\oplus 5)^\wedge 2$ producen $5625$ . ¿Existe un entero positivo $N$ tal que todos los enteros positivos con $N$ dígitos sean $(N-1)$ -expresables? Propuesto por Krit Boonsiriseth

4 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $D$ y $D_1$ puntos del segmento $BC$ tales que $BD = CD_1$ . Construya el punto $E$ tal que $EC\perp BC$ y $ED\perp AC$ . De manera similar, construya el punto $F$ tal que $FB\perp BC$ y $FD\perp AB$ . Demuestre que $EF\perp AD_1$ .

7 Sean $I$, $I_{a}$ el incentro y el $A$-excentro de un triángulo $ABC$; $E$, $F$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con $AC$, $AB$ respectivamente; $G$ el punto común de $BE$ y $CF$. La perpendicular a $BC$ desde $G$ corta a $AI$ en el punto $J$. Demuestra que $E$, $F$, $J$, $I_{a}$ son concíclicos. Propuesto por: Y. Shcherbatov

5 Para cada entero positivo $k$ , sea $d(k)$ el número de divisores positivos de $k$ y $\sigma(k)$ la suma de los divisores positivos de $k$ . Sea $\mathbb N$ el conjunto de todos los enteros positivos. Halle todas las funciones $f: \mathbb{N} \to \mathbb N$ tales que \begin{align*} f(d(n+1)) &= d(f(n)+1)\quad \text{and} \\ f(\sigma(n+1)) &= \sigma(f(n)+1) \end{align*} para todos los enteros positivos $n$ .

4 Dados un entero positivo $n$ y un primo $q$ , demuestre que el número $n^q+(\frac{n-1}{2})^2$ no puede ser una potencia de $q$ .

1 Una cuadrícula de $n \times n$ ( $n\geqslant2$ ) se cubre con trominós en forma de L que constan de tres cuadrados unitarios (el trominó puede rotarse $90^{\circ}$ ) de modo que se cumplan las siguientes condiciones: 1) toda celda de la cuadrícula está cubierta por al menos un trominó; 2) dos celdas que comparten un lado y están cubiertas por el mismo trominó no pueden estar ambas cubiertas por otro trominó. ¿Cuál es el número máximo posible de trominós en tal recubrimiento?