5 Alice tiene un dado sesgado tal que las probabilidades de obtener $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ forman una progresión aritmética, en ese orden. Bob lanza el dado dos veces, obteniendo $a$ y $b$ respectivamente. Hay una probabilidad de $\frac{1}{7}$ de que $a+b=7$ . Halle la probabilidad de que $a=b$ .

6 Sea $f(x)$ una función real con período mínimo $5$ , y defínase $g(x)$ como $f(2^x)$ . Dado que $g(x)$ tiene $25$ ceros en el intervalo $[0,5)$ , halle el número de ceros que tiene $g(x)$ en el intervalo $[1,4)$ .

8 Llamamos $(a,b,c)$ una terna afortunada si el número total de dígitos de los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ es $8$ , y los dígitos se pueden reordenar para formar $20240908$ . Por ejemplo, $(9,8,202400)$ es una terna afortunada, mientras que $(98, 24, 2200)$ no lo es. Halle el número de ternas afortunadas $(a,b,c)$ que satisfacen $10 < a < b < c$ .

9 $\triangle ABC$ satisface $$ \cos C= \frac{\sin A+\cos A}{2} = \frac{\sin B+\cos B}{2} $$ Halle $\cos C$ .

10 Una circunferencia es interesante si su centro se encuentra sobre el eje Y y es tangente a la hipérbola $x^2-y^2=1$ , cuyo vértice en la rama derecha es $A$ . Cuando dos circunferencias interesantes $O_1$ y $O_2$ son tangentes externamente en $P$ , existe una constante $k$ tal que $O_1O_2 = k \cdot AP$ se cumple siempre. Halle $k$ .

3 Sea un subconjunto $S$ de casillas de una cuadrícula conexo si y solo si para cualesquiera casillas distintas $A$ , $B$ $\in S$ , existe un entero $l \le 2$ y $l$ casillas $A=C_1, C_2, \cdots, C_l=B$ tales que $C_i$ y $C_{i+1}$ comparten un lado común para cada $1 \le i \le l-1$ . Alice tiene una cuadrícula de $3 \times n$ coloreada arbitrariamente de blanco y negro. Para cada entero positivo $n$ , halle el mayor $K$ tal que, sin importar cómo esté coloreada la cuadrícula, existe un subconjunto conexo de casillas con $B$ casillas negras y $W$ casillas blancas, y $|B-W| \ge K$ .

11 Los números complejos $z$ y $w$ satisfacen $z+w=2$ . Halle el valor mínimo de $$|z^2-2w|+|w^2-2z|$$

2 Sea $\{a_n\}$ una sucesión geométrica infinita, cuya razón común $0<|q|<1$ . Dado que $$\sum_{i=1}^\infty a_n = \sum_{i=1}^\infty a_n^2$$ halle el mayor rango posible de $a_2$ .

3. Sea $ABC$ un triángulo rectángulo donde ∠ $ACB$ = 90°. Sea $CD$ una altura de ese triángulo y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $CD$ y $BC$ , respectivamente. Si $S$ es el circuncentro del triángulo $AMN$ , demuestre que $AS$ y $BC$ son paralelas.

4 Sean $A$ y $B$ enteros positivos. El conjunto $S$ tiene las propiedades siguientes: para cada entero no negativo $k$ , $A^k \in S$ ; si $n \in S$ , entonces todos los divisores positivos de $n$ pertenecen también a $S$ ; si $m$ , $n \in S$ y $m$ y $n$ son primos entre sí, entonces $mn \in S$ ; si $n \in S$ , entonces $An+b \in S$ . Demuestre que para cualquier $p$ que es coprimo con $B$ , $p \in S$ .