Diez círculos de diámetro 1 están empaquetados en el primer cuadrante del plano coordenado como se muestra. Sea la región $\mathcal{R}$ la unión de las ocho regiones circulares. La recta $l,$ con pendiente 3, divide a $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. La ecuación de la recta $l$ se puede expresar en la forma $ax=by+c,$ donde $a, b,$ y $c$ son enteros positivos cuyo máximo común divisor es 1. Encuentra $a^2+b^2+c^2.$ [asy] size(150);defaultpen(linewidth(0.7)); draw((6.5,0)--origin--(0,6.5), Arrows(5)); int[] array={3,3,2}; int i,j; for(i=0; i<3; i=i+1) { for(j=0; j<array[i]; j=j+1) { draw(Circle((1+2*i,1+2*j),1)); }} label("x", (7,0)); label("y", (0,7));[/asy]

6 En el triángulo \(ABC\), \(AB=13\), \(BC=14\), \(AC=15\), y el punto \(G\) es la intersección de las medianas. Los puntos \(A'\), \(B'\) y \(C'\) son las imágenes de \(A\), \(B\) y \(C\), respectivamente, después de una rotación de \(180^\circ\) alrededor de \(G\). ¿Cuál es el área de la unión de las dos regiones encerradas por los triángulos \(ABC\) y \(A'B'C'\)?

14 Sea \(A=(0,0)\) y \(B=(b,2)\) puntos en el plano coordenado. Sea \(ABCDEF\) un hexágono equilátero convexo tal que \(\angle FAB=120^\circ,\) \(\overline{AB}\parallel \overline{DE},\) \(\overline{BC}\parallel \overline{EF,}\) \(\overline{CD}\parallel \overline{FA},\) y las coordenadas \(y\) de sus vértices son elementos distintos del conjunto \(\{0,2,4,6,8,10\}.\) El área del hexágono se puede escribir en la forma \(m\sqrt{n},\) donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos y \(n\) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \(m+n.\)

Caitlin y Donal juegan un juego llamado Basketball Shoot-Out . El juego consta de $10$ rondas. En cada ronda, Caitlin y Donal lanzan una pelota simultáneamente hacia la canasta del otro. Si la pelota de un jugador cae en la canasta, ese jugador anota un punto; de lo contrario, anota cero puntos. El marcador muestra la sucesión completa de puntos anotados por cada jugador en cada una de las $10$ rondas del juego. Resulta que Caitlin ha anotado en total al menos tantos puntos como Donal después de cada ronda del juego. Demuestre que el número de marcadores posibles es divisible por $4$ pero no por $8$ . leannan-capall

Mykhailo dibujó una cuadrícula triangular de lado \( n \) para \( n \geq 2 \). Se forma a partir de un triángulo equilátero \( T \) de lado \( n \), dividiendo cada lado en \( n \) partes iguales. Luego se trazan rectas paralelas a los lados del triángulo \( T \), dividiéndolo en \( n^2 \) triángulos equiláteros de lado \( 1 \), a los que llamaremos \textbf{celdas}. Después, Oleksii escribe algún entero positivo en cada celda. Mykhailo recibe 1 caramelo por cada celda donde el número escrito sea igual a la suma de todos los números en las celdas adyacentes. Oleksii quiere acomodar los números de tal manera que Mykhailo reciba la mayor cantidad de caramelos. ¿Cuántos caramelos puede recibir Mykhailo bajo tales condiciones? En la figura de abajo se muestra un ejemplo para \( n = 4 \) con 16 celdas y números escritos dentro. Para los números acomodados como en la figura, Mykhailo recibe 5 caramelos por los números \( 2 \) (la celda más arriba), \( 8 \), \( 13 \), \( 12 \) y \( 11 \). https://i.ibb.co/LrLks9q/Kyiv-MO-2025-R2-7-1.png Propuesto por Mykhailo Shtandenko

Sea \( n > 2 \) un entero, \( k > 1 \) un número real, y \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) números reales positivos tales que \( x_1 \cdot x_2 \cdots x_n = 1 \). Demuestra que: \[ \frac{1 + x_1^k}{1 + x_2} + \frac{1 + x_2^k}{1 + x_3} + \cdots + \frac{1 + x_n^k}{1 + x_1} \geq n. \] ¿Cuándo se da la igualdad?

5 Hay $100$ cajas etiquetadas con los números $00$, $01$, $02$, $\ldots$, $99$. Los números $000$, $001$, $002$, $\ldots$, $999$ se escribieron en mil tarjetas, una en cada tarjeta. Colocar una tarjeta en una caja está permitido si el número de la caja se puede obtener quitando uno de los dígitos del número de la tarjeta. Por ejemplo, se permite colocar la tarjeta $037$ en la caja $07$, pero no se permite colocar la tarjeta $156$ en la caja $65$. ¿Puede suceder que después de colocar todas las tarjetas en las cajas, haya exactamente $50$ cajas vacías? Si la respuesta es sí, indica cómo se colocan las tarjetas en las cajas; si la respuesta es no, explica por qué es imposible.

Sean $f, g$ funciones $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todos los reales $x,y$ , $$f(g(x) + y) = g(x + y)$$ Demuestre que o bien $f$ es la función identidad o bien $g$ es periódica. Propuesto por Pranjal Srivastava

Sea $\Delta$ el conjunto de todos los triángulos inscritos en una circunferencia dada, con ángulos cuyas medidas son números enteros de grados distintos de $45^\circ,90^\circ$ y $135^\circ$ . Para cada triángulo $T\in\Delta$ , $f(T)$ denota el triángulo cuyos vértices son los segundos puntos de intersección de las alturas de $T$ con la circunferencia. (a) Demuestre que existe un número natural $n$ tal que para todo triángulo $T\in\Delta$ , entre los triángulos $T,f(T),\ldots,f^n(T)$ (donde $f^0(T)=T$ y $f^k(T)=f(f^{k-1}(T))$ ) al menos dos son iguales. (b) Halle el menor $n$ con la propiedad de (a).

Sea $N \geqslant 3$ un entero. En el país de Sibyl, hay $N^2$ ciudades dispuestas como los vértices de una cuadrícula de $N \times N$ , y cada par de ciudades correspondiente a un par de vértices adyacentes de la cuadrícula está conectado por una carretera. A varios drones automatizados se les da la instrucción de recorrer un camino rectangular que comienza y termina en la misma ciudad, siguiendo las carreteras del país. Resultó que cada carretera fue recorrida al menos una vez por algún dron. Determine el número mínimo de drones que deben estar operando. Propuesto por Sutanay Bhattacharya y Anant Mudgal