1. Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo con \(AB\neq AC\). El círculo con diámetro \(BC\) interseca los lados \(AB\) y \(AC\) en \(M\) y \(N\), respectivamente. Denotemos por \(O\) el punto medio del lado \(BC\). Las bisectrices de los ángulos \(\angle BAC\) y \(\angle MON\) se intersecan en \(R\). Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos \(BMR\) y \(CNR\) tienen un punto común que se encuentra sobre el lado \(BC\). Valentin

2 Encuentra todos los polinomios \(f\) con coeficientes reales tales que para todos los reales \(a,b,c\) que cumplen \(ab+bc+ca = 0\) se tiene la siguiente relación \[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \] Valentin

7. Sea \( V \) un conjunto finito y \( g \) y \( f \) dos funciones inyectivas y sobreyectivas de \( V \) a \( V \). Sean \( T \) y \( S \) dos conjuntos definidos de la siguiente manera: \( S = \{w \in V: f(f(w)) = g(g(w))\} \) y \( T = \{w \in V: f(g(w)) = g(f(w))\} \). Sabemos que \( S \cup T = V \). Demuestra que para cada \( w \in V \), \( f(w) \in S \) si y solo si \( g(w) \in S \).

5. Sean $ p,q,n$ tres enteros positivos con $ p + q < n$ . Sea $ (x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})$ una $ (n + 1)$ -ada de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $ x_{0} = x_{n} = 0$ , y (b) Para cada $ i$ con $ 1\leq i\leq n$ , o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = p$ o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = - q$ . Demuestra que existen índices $ i < j$ con $ (i,j)\neq (0,n)$ , tales que $ x_{i} = x_{j}$ .

4 Construye el triángulo \(ABC\), dados \(h_a\), \(h_b\) (las alturas desde \(A\) y \(B\)), y \(m_a\), la mediana desde el vértice \(A\).

5 Considera el cubo $ABCDA'B'C'D'$ (con la cara $ABCD$ directamente encima de la cara $A'B'C'D'$). a) Encuentra el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos $XY$, donde $X$ es cualquier punto de $AC$ y $Y$ es cualquier punto de $B'D'$; b) Encuentra el lugar geométrico de los puntos $Z$ que están sobre el segmento $XY$ de la parte a) con $ZY=2XZ$.

6 Considera un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la base del cono. Un cilindro está circunscrito alrededor de esta esfera, de modo que una de sus bases se encuentra en la base del cono. Sea $V_1$ el volumen del cono y $V_2$ el volumen del cilindro. a) Demuestra que $V_1 \neq V_2$; b) Encuentra el menor número $k$ para el cual $V_1=kV_2$; para este caso, construye el ángulo subtendido por un diámetro de la base del cono en el vértice del cono.

4 Construye un triángulo rectángulo con hipotenusa dada \(c\) tal que la mediana trazada hacia la hipotenusa sea la media geométrica de los dos catetos del triángulo.

6 Dos planos, $P$ y $Q$, se intersecan a lo largo de la recta $p$. El punto $A$ está dado en el plano $P$, y el punto $C$ en el plano $Q$; ninguno de estos puntos se encuentra sobre la recta $p$. Construye un trapecio isósceles $ABCD$ (con $AB \parallel CD$) en el que se pueda inscribir un círculo, y con los vértices $B$ y $D$ situados en los planos $P$ y $Q$ respectivamente.

En un triángulo rectángulo dado $ABC$, la hipotenusa $BC$, de longitud $a$, se divide en $n$ partes iguales (siendo $n$ un entero impar). Sea $\alpha$ el ángulo agudo que subtiende, desde $A$, aquel segmento que contiene el punto medio de la hipotenusa. Sea $h$ la longitud de la altura relativa a la hipotenusa del triángulo. Demuestra que: \[ \tan{\alpha}=\dfrac{4nh}{(n^2-1)a}. \]