6 Sea $n \geq 5$ un entero. Encuentra el mayor entero $k$ (como función de $n$) tal que existe un $n$-ágono convexo $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ para el cual exactamente $k$ de los cuadriláteros $A_{i}A_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}$ tienen un círculo inscrito. (Aquí $A_{n+j} = A_{j}$.)

1 Sean $p_1, p_2, p_3, \ldots$ los números primos listados en orden creciente, y sea $x_0$ un número real entre 0 y 1. Para el entero positivo $k$, define \[ x_k = \begin{cases} 0 & \mbox{si} \; x_{k-1} = 0, \\[.1in] {\displaystyle \left\{ \frac{p_k}{x_{k-1}} \right\}} & \mbox{si} \; x_{k-1} \neq 0, \end{cases} \] donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$. (La parte fraccionaria de $x$ está dada por $x - \lfloor x \rfloor$ donde $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x$.) Encuentra, con demostración, todos los $x_0$ que satisfacen $0 < x_0 < 1$ para los cuales la sucesión $x_0, x_1, x_2, \ldots$ eventualmente se vuelve 0.

2 Sea $ABC$ un triángulo. Toma puntos $D$, $E$, $F$ sobre las mediatrices de $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Demuestra que las rectas que pasan por $A$, $B$, $C$ perpendiculares a $EF$, $FD$, $DE$ respectivamente son concurrentes.

3 Demuestra que para cualquier entero $n$, existe un único polinomio $Q$ con coeficientes en $\{0,1,\ldots,9\}$ tal que $Q(-2) = Q(-5) = n$.

4 Recortar un polígono convexo de $n$ lados significa elegir un par de lados consecutivos $AB, BC$ y reemplazarlos por los tres segmentos $AM, MN$ y $NC$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$. En otras palabras, se corta el triángulo $MBN$ para obtener un $(n+1)$-ágono convexo. Un hexágono regular ${\cal P}_6$ de área 1 se recorta para obtener un heptágono ${\cal P}_7$. Luego ${\cal P}_7$ se recorta (de una de las siete maneras posibles) para obtener un octágono ${\cal P}_8$, y así sucesivamente. Demuestra que sin importar cómo se hagan los recortes, el área de ${\cal P}_n$ es mayor que $\frac{1}{3}$, para todo $n \geq 6$.

5 Demuestra que, para todos los números reales positivos $ a$ , $ b$ , $ c$ , se cumple la desigualdad \[ \frac {1}{a^3 + b^3 + abc} + \frac {1}{b^3 + c^3 + abc} + \frac {1}{c^3 + a^3 + abc} \leq \frac {1}{abc} \]

6 Supón que la sucesión de enteros no negativos \( a_1, a_2, \ldots, a_{1997} \) satisface \[ a_i + a_j \leq a_{i+j} \leq a_i + a_j + 1 \] para todos \( i,j \geq 1 \) con \( i + j \leq 1997 \). Demuestra que existe un número real \( x \) tal que \( a_n = \lfloor nx \rfloor \) (el mayor entero \( \leq nx \)) para todo \( 1 \leq n \leq 1997 \).

1 Demuestra que el promedio de los números $n \sin n^{\circ} \; (n = 2,4,6,\ldots,180)$ es $\cot 1^{\circ}$ .

Para cualquier conjunto no vacío $S$ de números reales, sea $\sigma(S)$ la suma de los elementos de $S$. Dado un conjunto $A$ de $n$ enteros positivos, considera la colección de todas las sumas distintas $\sigma(S)$ cuando $S$ recorre los subconjuntos no vacíos de $A$. Demuestra que esta colección de sumas se puede particionar en $n$ clases de modo que en cada clase, la razón entre la suma más grande y la suma más pequeña no exceda 2.

3 Sea $ABC$ un triángulo. Demuestra que existe una recta $\ell$ (en el plano del triángulo $ABC$) tal que la intersección del interior del triángulo $ABC$ y el interior de su reflexión $A'B'C'$ respecto a $\ell$ tiene área mayor que $\frac23$ del área del triángulo $ABC$.