24 $(GBR 1)$ Se dice que el polinomio $P(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots + a_k$, donde $a_0,\cdots, a_k$ son enteros, es divisible por un entero $m$ si $P(x)$ es un múltiplo de $m$ para todo valor entero de $x$. Muestra que si $P(x)$ es divisible por $m$, entonces $a_0 \cdot k!$ es un múltiplo de $m$. También demuestra que si $a, k, m$ son enteros positivos tales que $ak!$ es un múltiplo de $m$, entonces se puede encontrar un polinomio $P(x)$ con término principal $ax^k$ que sea divisible por $m$.

25 $(GBR 2)$ Sean $a, b, x, y$ enteros positivos tales que $a$ y $b$ no tienen ningún divisor común mayor que $1$. Demuestra que el número más grande que no se puede expresar en la forma $ax + by$ es $ab - a - b$. Si $N(k)$ es el número más grande que no se puede expresar en la forma $ax + by$ de exactamente $k$ maneras, encuentra $N(k)$.

3 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles en $A$ con $AB=AC$. Sean $M$ y $N$ puntos sobre el lado $BC$, con $M$ entre $B$ y $N$, tales que $$BM^2+ NC^2= MN^2.$$ Determina la medida del ángulo $\angle MAN.$

29 $(GDR 1)$ Encuentra todos los números reales $\lambda$ tales que la ecuación $\sin^4 x - \cos^4 x = \lambda(\tan^4 x - \cot^4 x)$ $(a)$ no tiene solución, $(b)$ tiene exactamente una solución, $(c)$ tiene exactamente dos soluciones, $(d)$ tiene más de dos soluciones (en el intervalo $(0, \frac{\pi}{4}).$

30 $(GDR 2)^{IMO1}$ Demuestra que existen infinitos números naturales $a$ con la siguiente propiedad: El número $z = n^4 + a$ no es primo para ningún número natural $n.$

31 $(GDR 3)$ Encuentra el número de permutaciones $a_1, \cdots, a_n$ del conjunto $\{1, 2, . . ., n\}$ tales que $|a_i - a_{i+1}| \neq 1$ para todo $i = 1, 2, . . ., n - 1.$ Encuentra una fórmula de recurrencia y evalúa el número de tales permutaciones para $n \le 6.$

32 $(GDR 4)$ Encuentra el número máximo de regiones en las que una esfera puede ser particionada por $n$ círculos.

33 $(GDR 5)$ Dado un anillo $G$ en el plano acotado por dos circunferencias concéntricas con radios $R$ y $\frac{R}{2}$, demuestra que podemos cubrir esta región con $8$ discos de radio $\frac{2R}{5}$. (Una región está cubierta si cada uno de sus puntos está dentro o en el borde de algún disco.)

34 $(HUN 1)$ Sean $a$ y $b$ enteros arbitrarios. Demuestra que si $k$ es un entero no divisible por $3$, entonces $(a + b)^{2k}+ a^{2k} +b^{2k}$ es divisible por $a^2 +ab+ b^2$.

35 $(HUN 2)$ Demuestra que $1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}<\frac{5}{4}$