2 $ABCD$ es un paralelogramo. $K$ es la circunferencia circunscrita de $ABD$ . Las rectas $BC$ y $CD$ cortan de nuevo a $K$ en $E$ y $F$ . Demuestre que el circuncentro de $CEF$ está sobre $K$ .

1 Los números $1$ a $1024$ se escriben uno por casilla en un tablero de $32 \times 32$ , de modo que la primera fila sea $1, 2, ... , 32$ , la segunda fila $33, 34, ... , 64$ y así sucesivamente. Luego el tablero se divide en cuatro tableros de $16 \times 16$ y la posición de estos tableros se rota en el sentido de las manecillas del reloj, de modo que $AB$ pasa a $DA$ $DC \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \, CB$ ; después cada uno de los tableros de $16 \times 16 $ se divide en cuatro partes iguales de $8 \times 8$ y cada una de estas se rota de la misma manera (dentro del tablero de $ 16 \times 16$ ). Luego cada uno de los tableros de $8 \times 8$ se divide en cuatro partes de $4 \times 4$ y estas se rotan; después cada tablero de $4 \times 4$ se divide en partes de $2 \times 2$ que se rotan, y finalmente las casillas de cada parte de $2 \times 2$ se rotan. ¿Qué números quedan en la diagonal principal (de la esquina superior izquierda a la inferior derecha)?

3 Sea $n$ un entero positivo. ¿Tiene $n^2$ más divisores positivos de la forma $4k+1$ o de la forma $4k-1$ ?

5 $ABC$ es un triángulo con $AB < AC$ y $\angle A = 2 \angle C$ . $D$ es el punto sobre $AC$ tal que $CD = AB$ . Sea L la recta que pasa por $B$ paralela a $AC$ . Sea $L$ la recta que corta a la bisectriz exterior de $\angle A$ en $M$ y a la recta que pasa por $C$ paralela a $AB$ en $N$ . Demuestre que $MD = ND$ .

6 Un coleccionista de monedas raras tiene monedas de denominaciones $1, 2,..., n$ (varias monedas de cada denominación). Desea colocar las monedas en $5$ cajas de modo que: (1) en cada caja haya a lo sumo una moneda de cada denominación; (2) cada caja tenga el mismo número de monedas y la misma suma de denominaciones; (3) cualesquiera dos cajas contengan todas las denominaciones; (4) ninguna denominación esté en las $5$ cajas. ¿Para qué $n$ es esto posible?

1 En el plano se dan las circunferencias $A,B,C,D$ tales que las circunferencias $A$ y $B$ son tangentes exteriormente en $P, B$ y $C$ en $Q, C$ y $D$ en $R$ , y $D$ y $A$ en $S$ . Las circunferencias $A$ y $C$ no se cortan, y tampoco $B$ y $D$ . (a) Demuestre que los puntos $P,Q,R,S$ están sobre una circunferencia. (b) Suponga que $A$ y $C$ tienen radio $2, B$ y $D$ tienen radio $3$ , y la distancia entre los centros de $A$ y $C$ es $6$ . Calcule el área del cuadrilátero $PQRS$ .

2 Un triángulo de números se construye como sigue. La primera fila consiste en los números del $1$ al $2000$ en orden creciente, y debajo de cualesquiera dos números consecutivos se escribe su suma. (Véase abajo el ejemplo correspondiente a $5$ en lugar de $2000$ .) ¿Cuál es el número de la fila inferior? 1 2 3 4 5 3 5 7 9 8 12 16 20 28 4

3 Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, el conjunto $A'$ se compone de los elementos de $A$ y de todos los enteros positivos que pueden obtenerse de la siguiente manera: escriba algunos elementos de $A$ uno tras otro sin repetir, coloque un signo $+ $ o $-$ delante de cada uno de ellos, y evalúe la expresión obtenida. El resultado se incluye en $A'$ . Por ejemplo, si $A = \{2,8,13,20\}$ , los números $8$ y $14 = 20-2+8$ son elementos de $A'$ . El conjunto $A''$ se construye a partir de $A'$ de la misma manera. Halle el menor número posible de elementos de $A$ , si $A''$ contiene todos los enteros del $1$ al $40$ .

4 Sean $a$ y $b$ enteros positivos no divisibles por $5$ . Se construye una sucesión de enteros como sigue: el primer término es $5$ , y cada término subsiguiente se obtiene multiplicando su antecesor por $a$ y sumando $b$ . (Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$ , los tres primeros términos son $5,14,32$ . ) ¿Cuál es el número máximo posible de primos que pueden aparecer antes de encontrar el primer término compuesto?

5 Un tablero $n$ × $n$ se colorea de blanco y negro como un tablero de ajedrez. Se permiten los siguientes pasos: elegir un rectángulo dentro del tablero (formado por celdas completas) cuyas longitudes de lado sean ambas impares o ambas pares, pero no ambas iguales a $1$ , e invertir los colores de todas las celdas del rectángulo. Determine los valores de $n$ para los cuales es posible hacer que todas las celdas tengan el mismo color en un número finito de tales pasos.