4 Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: Solo hay un número finito de múltiplos positivos de $n$ que tienen exactamente $n$ divisores positivos.

1 Suponga que $n\ge3$ es un número natural. Halle el valor máximo $k$ tal que existen números reales $a_1,a_2,...,a_n \in [0,1)$ (no necesariamente distintos) tales que para todo número natural $j \le k$ , la suma de algunos $a_i$ es $j$ . Propuesto por Navid Safaei

2 $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $O$ es el centro de su circunferencia circunscrita. Suponga que $AD \cap BC = E$ y $AC \cap BD = F$ . La circunferencia $\omega$ es tangente a las rectas $AC$ y $BD$ . $PQ$ es un diámetro de $\omega$ tal que $F$ es el ortocentro de $EPQ$ . Demuestre que la recta $OE$ pasa por el centro de $\omega$ . Propuesto por Mahdi Etesami Fard

3 Arman, partiendo de un número, calcula la suma de los cubos de las cifras de ese número, y vuelve a calcular la suma de los cubos de las cifras del número resultante y continúa con el mismo proceso. Arman llama a un número $Good$ si llega a $1$ después de realizar una cierta cantidad de pasos. Demuestre que existe una progresión aritmética de longitud $1402$ de números buenos. Propuesto por Navid Safaei

C6 Tres amigos, Archie, Billie y Charlie, juegan un juego. Al comienzo del juego, cada uno de ellos tiene un montón de $2024$ guijarros. Archie hace el primer movimiento, Billie el segundo, Charlie el tercero, y continúan haciendo movimientos en el mismo orden. En cada movimiento, el jugador que mueve debe elegir un entero positivo $n$ mayor que cualquier número elegido anteriormente por cualquier jugador, tomar $2n$ guijarros de su montón y distribuirlos por igual entre los otros dos jugadores. Si un jugador no puede hacer un movimiento, el juego termina y ese jugador pierde el juego. $\hspace{5px}$ Determine todos los jugadores que tienen una estrategia tal que, sin importar cómo jueguen los otros dos jugadores, no perderán el juego. Propuesto por Ilija Jovčeski, Macedonia

1 Demuestre que para todo número natural $n$ existen $n$ números naturales $ x_1 < x_2 < ... < x_n $ tales que $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_1x_2...x_n}\in \mathbb{N}\cup {0}$$ (15 puntos)

6 $ABC$ es un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . El punto $P$ está en el triángulo $BHC$ tal que $\angle HPC = 3 \angle HBC $ y $\angle HPB =3 \angle HCB $ . La reflexión del punto $P$ respecto a $BH,CH$ es $X,Y$ . Si $S$ es el centro de la circunferencia circunscrita de $AXY$ , demuestre que: $$\angle BAS = \angle CAP$$ Propuesto por Pouria Mahmoudkhan Shirazi

1 Suponga que $d(n)$ es el número de divisores positivos del número natural $n$ . Demuestre que existe un número natural $n$ tal que $$ \forall i\in \mathbb{N} , i \le 1402: \frac{d(n)}{d(n \pm i)} >1401 $$ Propuesto por Navid Safaei y Mohammadamin Sharifi

2 Suponga $\frac{1}{2} < s < 1$ . Un insecto vuela sobre $[0,1]$ . Si está en el punto $a$ , salta al punto $ a\times s$ o a $(a-1) \times s +1$ . Para todo número real $0 \le c \le 1$ , demuestre que el insecto puede saltar de manera que, después de algunos saltos, se encuentre a una distancia menor que $\frac {1}{1402}$ del punto $c$ . Propuesto por Navid Safaei

3 Halle todas las funciones $ f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tales que para cualesquiera tres números reales positivos $x,y,z$ : $$ x+f(y) , f(f(y)) + z , f(f(z))+f(x) $$ son las longitudes de los tres lados de un triángulo y para todo número positivo $p$ , existe un triángulo con estos lados y perímetro $p$ . Propuesto por Amirhossein Zolfaghari