4 Sea $n$ un entero par mayor que $2$. En los vértices de un polígono regular de $n$ lados podemos colocar fichas rojas o azules. Dos jugadores, $A$ y $B$, juegan por turnos alternados de la siguiente manera: cada jugador, en su turno, elige dos vértices que no tengan fichas y coloca en uno de ellos una ficha roja y en el otro una ficha azul. El objetivo de $A$ es obtener tres vértices consecutivos con fichas del mismo color. El objetivo de $B$ es evitar que esto ocurra. Al inicio del juego no hay fichas en ninguno de los vértices. Muestra que, sin importar quién empiece a jugar, el jugador $B$ siempre puede lograr su objetivo.

5 Diremos que dos enteros positivos $a$ y $b$ forman un par adecuado si $a+b$ divide a $ab$ (su suma divide a su multiplicación). Encuentra $24$ enteros positivos que se puedan distribuir en $12$ pares adecuados, de modo que cada número entero aparezca en un solo par y el mayor de los $24$ números sea lo más pequeño posible.

1 Para cada par $(\alpha, \beta)$ de reales no negativos con $\alpha+\beta \geq 2$, determina todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(x)f(y) \leq f(xy)+\alpha x+\beta y$$ para todos los reales $x, y$.

2 Encuentra todos los enteros positivos \(n \geq 3\) para los cuales es posible dibujar \(n\) cuerdas en un círculo, con sus \(2n\) extremos siendo distintos por pares, de modo que cada cuerda intersecte exactamente a otras \(k\) para: (a) \(k=n-2\), (b) \(k=n-3\).

3 Sea \( k \) un círculo y \( k_{1},k_{2},k_{3},k_{4} \) cuatro círculos más pequeños con sus centros \( O_{1},O_{2},O_{3},O_{4} \) respectivamente, sobre \( k \). Para \( i = 1,2,3,4 \) y \( k_{5}= k_{1} \), los círculos \( k_{i} \) y \( k_{i+1} \) se intersecan en \( A_{i} \) y \( B_{i} \) de modo que \( A_{i} \) está sobre \( k \). Los puntos \( O_{1},A_{1},O_{2},A_{2},O_{3},A_{3},O_{4},A_{4} \) están en ese orden sobre \( k \) y son distintos entre sí. Demuestra que \( B_{1}B_{2}B_{3}B_{4} \) es un rectángulo.

1 Usando cubos blancos de lado $1$, se armó un prisma (sin huecos). Las caras del prisma se pintaron de negro. Se sabe que los cubos que quedaron con exactamente $4$ caras blancas son $20$ en total. Determina cuáles pueden ser las dimensiones del prisma. Da todas las posibilidades.

Un grupo de hombres, algunos de ellos acompañados por sus esposas, gastaron $\$1.000$ en un hotel. Cada hombre gastó $\$19$ y cada mujer $\$13$. Determina cuántas mujeres y cuántos hombres había.

5 Sean $x$ y $y$ enteros positivos. Considera una cuadrícula de $x \times y$ cuadrados, cuyos vértices forman $(x+1)(y+1)$ puntos rojos. Inicialmente, se coloca una hormiga en cada punto rojo. Todas las hormigas se mueven simultáneamente a lo largo de las líneas de la cuadrícula a la misma velocidad. Cada vez que una hormiga llega a un punto rojo, debe girar $90^\circ$ (es decir, no puede seguir recto), eligiendo una de las dos direcciones perpendiculares. Determina todos los pares $(x, y)$ para los cuales es posible que las hormigas se muevan indefinidamente sin que dos hormigas ocupen el mismo punto rojo al mismo tiempo.

2 Sea \( k \) un entero positivo fijo, \( k \le 10 \). Dada una lista de diez números, la operación permitida es: elegir \( k \) números de la lista y sumarles \( 1 \) a cada uno de ellos. Así se obtiene una nueva lista de diez números. Si inicialmente tienes la lista \( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \), determina los valores de \( k \) para los cuales es posible, mediante una secuencia de operaciones permitidas, obtener una lista que tenga los diez números iguales. En cada caso indica la secuencia.

Los vértices de un polígono regular de $2002$ lados están numerados del $1$ al $2002$, en sentido horario. Dado un entero $n$, $1 \le n \le 2002$, colorea el vértice $n$ de azul, luego, yendo en sentido horario, cuenta $n$ vértices empezando desde el siguiente de $n$, y colorea $n$ de azul. Y así sucesivamente, partiendo del vértice que sigue al último vértice coloreado, se cuentan $n$ vértices, coloreados o no, y el número $n$ se colorea de azul. Cuando el vértice a colorear ya es azul, el proceso se detiene. Denotamos $P(n)$ al conjunto de vértices azules obtenidos con este procedimiento al empezar con el vértice $n$. Por ejemplo, $P(364)$ está formado por los vértices $364$, $728$, $1092$, $1456$, $1820$, $182$, $546$, $910$, $1274$, $1638$ y $2002$. Determina todos los enteros $n$, $1 \le n \le 2002$, tales que $P(n)$ tiene exactamente $14$ vértices.