En cada una de las seis cajas $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ hay inicialmente sólo una moneda. Se permiten dos tipos de operaciones: Tipo 1: Elegir una caja no vacía $B_j$, con $1 \leq j \leq 5$. Retirar una moneda de $B_j$ y añadir dos monedas a $B_{j+1}$. Tipo 2: Elegir una caja no vacía $B_k$, con $1 \leq k \leq 4$. Retirar una moneda de $B_k$ e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$. Determina si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$ vacías y a la caja $B_6$ con exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas.

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. El círculo $\Gamma_{A}$ con centro sobre el punto medio de $BC$ que pasa por $H$ interseca a $BC$ en los puntos $A_1$ y $A_2$. Los puntos $ B_{1}$, $ B_{2}$, $ C_{1}$ y $ C_{2}$ se definen de manera similar. Muestra que los seis puntos $ A_{1}$, $ A_{2}$, $ B_{1}$, $ B_{2}$, $ C_{1}$ y $ C_{2}$ están sobre una misma circunferencia.

Encuentra todas las funciones $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos tales que para todos los enteros positivos $a$ y $b$, existe un triángulo no degenerado con longitud de lados \[ a, f(b) \text{ y } f(b + f(a) - 1).\]

Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión de números reales positivos. Se tiene que para algún\nentero positivo $s$,\n\[a_n = \max\{a_{\ell} + a_{n -k} \mid 1\leq k\leq n-1\} \textrm{ para todo } \ n \geq s.\]\nDemuestra que existen enteros positivos $\ell$ y $N$ , con $\ell \leq s$, tales que \n$$a_n = a_{\ell} + a_{n-\ell} \text{ para todo }n \geq N.$$

Sean $a_1, a_2, \ldots , a_n$ enteros positivos distintos y $M$ un conjunto de $n-1$ enteros positivos que no contiene a $s=a_1 + a_2 + \ldots + a_n.$ Un saltamontes salta sobre la línea de los números reales, empezando en el $0$. Hace $n$ saltos a la derecha con longitudes $a_1, a_2, \ldots , a_n$ en algún orden. \nMuestra que el orden puede elegirse de manera que el saltamontes nunca pase por un número en $M$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $P$ y $Q$ son puntos sobre los lados $CA$ y $AB$, respectivamente. Sean $K$, $L$, y $M$ los puntos medios de los segmentos $BP$, $CQ$, y $PQ$, respectivamente, y sea $\Gamma$ el circuncírculo que pasa por $K$, $L$ y $M$. Muestra que $OP=OQ$ si $PQ$ es tangente a $\Gamma$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ABC$ intersecan los lados $BC$ y $CA$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $K$ el incentro del triángulo $ADC$. Si $\angle BEK=45^\circ$, encuentra todos los valores posibles del ángulo $\angle CAB$.

Sea $n$ un entero positivo y $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_k$ enteros distintos en el conjunto $\{ 1,2,\ldots,n\}$ tales que $n$ divide a $a_i(a_{i + 1} - 1)$ para $i=1,2,\ldots,k-1$. Muestra que $n$ no divide a $a_k(a_1-1)$.

- Muestra que \n\[\frac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \frac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq 1\]\npara cualesquiera números reales $x$, $y$, $z$ distintos de $1$ tales que $xyz=1$. \n- Muestra que la igualdad es cierta para infinitas ternas de números racionales $x$, $y$, $z$ distintos de $1$ tales que $xyz=1$.

Muestra que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene un primo divisor mayor a $ 2n + \sqrt {2n}$.