8 Sea $S$ el conjunto de todas las funciones no decrecientes $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen $f(f(n))<n+50$ para todo entero positivo $n$. Encuentre el valor máximo de $$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2024)+f(2025)$$ sobre todas las $f \in S$. Propuesto por Shantanu Nene Rijul

7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y $AB<AC$. Sea $T(\ne B,C, H)$ cualquier otro punto en el arco $\stackrel{\LARGE\frown}{BHC}$ del circuncírculo de $BHC$ y sea la recta $BT$ que interseca a la recta $AC$ en $E(\ne A)$ y sea la recta $CT$ que interseca a la recta $AB$ en $F(\ne A)$. Sean los circuncírculos de $AEF$ y $ABC$ que se intersecan de nuevo en $X$ ($\ne A$). Sean las rectas $XE,XF,XT$ que intersecan al circuncírculo de $(ABC)$ de nuevo en $P,Q,R$ ($\ne X$). Demuestre que las rectas $AR,BC,PQ$ son concurrentes. Rijul

13 Sean $a, b, c, d$ enteros positivos, y $x_0, x_1, x_2, \cdots$ una sucesión de enteros positivos tal que $x_{n+3} = a x_{n+2} + b x_{n+1} + c x_{n} + d$ para todo $n\geqslant 0$. Si existen $2025$ términos consecutivos en la sucesión que son todos primos, entonces demuestre que $x_3 > 16$. Propuesto por Mainak Ghosh y Rijul Saini.

2 Alice y Bob juegan en un tablero infinito formado por triángulos equiláteros. En cada turno, Alice coloca primero una ficha blanca en una celda desocupada y, luego, Bob coloca una ficha negra en una celda desocupada. El objetivo de Alice es tener eventualmente $k$ fichas blancas en una línea. Determine el valor máximo de $k$ para el cual Alice puede lograr esto sin importar cómo juegue Bob. Propuesto por Oriol Solé

15 Sea $\triangle ABC$ un triángulo escaleno con alturas $BE, CF$, circuncentro $O$ y ortocentro $H$. Sea $R$ un punto en la recta $AO$. Los puntos $P, Q$ están en las rectas $AB, AC$ respectivamente, tales que $RE \perp EP$ y $RF \perp FQ$. Demuestre que $PQ$ es perpendicular a $RH$. Propuesto por Rijul Saini.

19 Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de todos los números reales. Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(xy) + f(f(y)) = f((x + 1)f(y))$$ para todos los números reales $x$ , $y$ . Propuesto por MV Adhitya y Kanav Talwar Rijul

17 Sea $n$ un número natural. Definimos una sucesión $(a_i)_{i \geqslant 1}$ de la siguiente manera: $a_1=1, a_2=2, a_3=3, a_4=4,$ y $a_5=n$, y $$a_{i+5} = \frac{\left(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}\right)}{5}$$ para todo $i \geqslant 1$. Encuentre todos los valores posibles de $n$ para los cuales se cumple lo siguiente: dado cualquier número natural $N$, existen números naturales $r>N, s>N$ tales que $a_r<2025<a_s$. Propuesto por Tejaswi Navilarekallu Rijul

21 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y $K$ la intersección de las tangentes desde $B$ y $C$ al circuncírculo de $ABC$. Denotemos por $\Omega$ al círculo centrado en $H$ y tangente a la recta $AM$. Suponga que $AK$ interseca a $\Omega$ en dos puntos distintos $X$, $Y$. Las rectas $BX$ y $CY$ se encuentran en $P$, mientras que las rectas $BY$ y $CX$ se encuentran en $Q$. Demuestre que $P$ o $Q$ yace sobre $\Omega$. Propuesto por MV Adhitya, Archit Manas y Arnav Nanal Rijul

23 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incírculo $\omega$. Denotemos por $N$ al punto medio del arco $BAC$ en el circuncírculo de $ABC$, y por $D$ al punto donde el $A$-excírculo toca a $BC$. Suponga que el circuncírculo de $AND$ corta a $BC$ nuevamente en $P \neq D$ e interseca a $\omega$ en dos puntos $X$, $Y$. Demuestre que $PX$ o $PY$ es tangente a $\omega$. Propuesto por Sanjana Philo Chacko Rijul

8 Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B \in ]AC[$. En el lado de $AC$ dibujamos los tres semicírculos con diámetros $[AB]$, $[BC]$ y $[AC]$. La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos corta al tercer círculo en $E$. Sean $U$ y $V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Denotemos el área del triángulo $ABC$ como $S(ABC)$. Evalúe la razón $R=\frac{S(EUV)}{S(EAC)}$ en función de $r_1 = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$.