1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo con centro en $O$. Sea $M$ un punto en el arco menor $AB$ de la circunferencia circunscrita al triángulo. La perpendicular trazada desde $M$ al rayo $OA$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. De manera similar, la perpendicular trazada desde $M$ al rayo $OB$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en $N$ y $P$, respectivamente. Suponga que $KL=MN$. Encuentre la medida del ángulo $\angle{MLP}$ en términos de los ángulos del triángulo $ABC$.

7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y $AB<AC$. Sea $T(\ne B,C, H)$ cualquier otro punto en el arco $\stackrel{\LARGE\frown}{BHC}$ del circuncírculo de $BHC$ y sea la recta $BT$ que interseca a la recta $AC$ en $E(\ne A)$ y sea la recta $CT$ que interseca a la recta $AB$ en $F(\ne A)$. Sean los circuncírculos de $AEF$ y $ABC$ que se intersecan de nuevo en $X$ ($\ne A$). Sean las rectas $XE,XF,XT$ que intersecan al circuncírculo de $(ABC)$ de nuevo en $P,Q,R$ ($\ne X$). Demuestre que las rectas $AR,BC,PQ$ son concurrentes. Rijul

12 Encuentre todos los pares de soluciones $(x,y)$ : \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]

5 Sea $ABC$ un triángulo, $M$ el punto medio del segmento $AC$ y $H$ el punto de intersección de la recta perpendicular a $AB$ trazada por $C$ con el segmento $AB$. Demuestre que $CH$ pasa por el punto medio del segmento $BM$ si y solo si $3AC^{2} = 3BC^{2} + AB^{2}$.

2 Defina los números $a_0, a_1, \ldots, a_n$ de la siguiente manera: \[ a_0 = \frac{1}{2}, \quad a_{k+1} = a_k + \frac{a^2_k}{n} \quad (n > 1, k = 0,1, \ldots, n-1). \] Demuestre que \[ 1 - \frac{1}{n} < a_n < 1.\]

8 Sea $S$ el conjunto de todas las funciones no decrecientes $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen $f(f(n))<n+50$ para todo entero positivo $n$. Encuentre el valor máximo de $$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2024)+f(2025)$$ sobre todas las $f \in S$. Propuesto por Shantanu Nene Rijul

9 Sea $n$ un entero positivo. Alice y Bob juegan al siguiente juego. Alice considera una permutación $\pi$ del conjunto $[n]=\{1,2, \dots, n\}$ y la mantiene oculta de Bob. En un movimiento, Bob le dice a Alice una permutación $\tau$ de $[n]$, y Alice le dice a Bob si existe un $i \in [n]$ tal que $\tau(i)=\pi(i)$. Bob gana si en algún momento le dice a Alice la permutación $\pi$. Demuestre que Bob puede ganar el juego en a lo sumo $n \log_2(n) + 2025n$ movimientos. Propuesto por Siddharth Choppara y Shantanu Nene Rijul

1 Escriba el número $\frac{1997}{1998}$ como una suma de números distintos, inversos de números naturales.

17 Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$, sea $B_i$ un punto interior del lado opuesto a $A_i$. Demuestre que las mediatrices de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

2 En el triángulo $ABC$, considere los puntos $A_1,A_2$ en la recta $BC$ tales que $A_1,B,C,A_2$ están en ese orden y $A_1B=AC$ y $CA_2=AB$. De manera similar, considere los puntos $B_1,B_2$ en la recta $AC$, y $C_1,C_2$ en la recta $AB$. Demuestre que los ortocentros de los triángulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ equidistan del circuncentro de $ABC$. Propuesto por Shantanu Nene Rijul