6 Un círculo está dividido en $n$ sectores ($n \geq 3$). Cada sector puede ser llenado con $1$ o $0$. Elija cualquier sector $\mathcal{C}$ ocupado por un $0$, cámbielo por un $1$ y simultáneamente cambie los símbolos $x, y$ en los dos sectores adyacentes a $\mathcal{C}$ por sus complementos $1-x$, $1-y$. Repetimos este proceso mientras exista un cero en algún sector. En la configuración inicial hay un $0$ en un sector y $1$s en los demás. ¿Para qué valores de $n$ podemos terminar este proceso?

8 Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B \in ]AC[$. En el lado de $AC$ dibujamos los tres semicírculos con diámetros $[AB]$, $[BC]$ y $[AC]$. La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos corta al tercer círculo en $E$. Sean $U$ y $V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Denotemos el área del triángulo $ABC$ como $S(ABC)$. Evalúe la razón $R=\frac{S(EUV)}{S(EAC)}$ en función de $r_1 = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$.

6 Una empresa tiene $2n+1$ empleados, algunos de los cuales se conocen entre sí ($A$ conoce a $B$, y $B$ conoce a $A$). Si, para cualesquiera $n$ empleados, siempre existe un empleado entre los empleados restantes que conoce a todos ellos, entonces demuestre que existe un empleado en la empresa que conoce a todos los demás.

12 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $T$ la intersección de las tangentes en $B$ y $C$ a $\Gamma$. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $TBC$ y sean $M(\neq T)$ y $N(\neq T)$ las segundas intersecciones de $TA$ y $TD$ con $\omega$, respectivamente. Sean $AD$ y $BC$ rectas que se cortan en $E$ y sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $EMN$. Si $AD$ corta a $\Omega$ nuevamente en $X \neq E$, demuestre que la recta tangente a $\Omega$ en $X$ es también tangente a $\omega$. Propuesto por Malay Mahajan y Siddharth Choppara Rijul

20 Tras haber ganado las elecciones en Linetown, Turbo el Caracol se ha convertido en alcalde, y uno de los problemas más urgentes en los que necesita trabajar es la red de carreteras. Linetown puede representarse como una configuración de $2025$ líneas en el plano, de las cuales no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Hay una casa en Linetown por cada intersección de dos líneas. Las $2025$ líneas son utilizadas como carreteras por los habitantes del pueblo. En el pasado, las carreteras en Linetown solían ser de doble sentido, pero esto a menudo llevaba a que los residentes regresaran accidentalmente en bicicleta al lugar donde comenzaron. Turbo quiere hacer que cada una de las $2025$ carreteras sea de sentido único, de tal manera que sea imposible para cualquier residente comenzar en una casa, seguir las carreteras en las direcciones correctas y terminar de vuelta en la casa original. ¿De cuántas maneras puede Turbo lograr esto? Propuesto por Archit Manas Rijul

3 Sean $x, y, z$ enteros positivos tales que $xy=z^2+2$. Demuestre que existen enteros $a, b, c, d$ tales que se satisfacen las siguientes igualdades: \begin{eqnarray*} x=a^2+2b^2\\ y=c^2+d^2\\ z=ac+2bd\\ \end{eqnarray*} Propuesto por Isaac Jiménez

2 Defina los números $a_0, a_1, \ldots, a_n$ de la siguiente manera: \[ a_0 = \frac{1}{2}, \quad a_{k+1} = a_k + \frac{a^2_k}{n} \quad (n > 1, k = 0,1, \ldots, n-1). \] Demuestre que \[ 1 - \frac{1}{n} < a_n < 1.\]

9 Sea $p$ un número primo. Demuestre que no existe ningún número divisible por $p$ en la fila $n$-ésima del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse de la forma $n = p^sq - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.

12 Encuentre todos los pares de soluciones $(x,y)$ : \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]

4 Considere un tablero de $2025\times 2025$ donde identificamos las casillas con pares $(i,j)$ donde $i$ y $j$ denotan el número de fila y columna de dicha casilla, respectivamente. Calvin elige dos enteros positivos $a,b<2025$ y coloca un peón en la esquina inferior izquierda (es decir, en $(1,1)$) y realiza los siguientes movimientos. En su $k$-ésimo movimiento, mueve el peón de $(i,j)$ a $(i+a,j)$ o $(i,j+a)$ si $k$ es impar, y a $(i+b,j)$ o $(i,j+b)$ si $k$ es par. Aquí todos los números se toman módulo $2025$. Encuentre el número de pares $(a,b)$ que Calvin pudo haber elegido de tal manera que pueda realizar movimientos para que el peón cubra todas las casillas del tablero sin estar en ninguna casilla dos veces. Propuesto por Tejaswi Navilarekallu Rijul