15 Demuestre que la suma de los seis ángulos subtendidos en un punto interior de un tetraedro por sus seis aristas es mayor que 540°.

5 Sea $ABC$ un triángulo, $M$ el punto medio del segmento $AC$ y $H$ el punto de intersección de la recta perpendicular a $AB$ trazada por $C$ con el segmento $AB$. Demuestre que $CH$ pasa por el punto medio del segmento $BM$ si y solo si $3AC^{2} = 3BC^{2} + AB^{2}$.

4 Sean $a$ y $b$ números reales positivos tales que $2a + b + \frac{4}{ab} = 10$. Encuentre, con justificación, el mayor valor posible de $a$.

3 Un hexágono regular de área $H$ está inscrito en un polígono convexo de área $P$. Demuestre que $P \leq \frac{3}{2}H$. ¿Cuándo ocurre la igualdad?

4 Demuestre que no existe ninguna función biyectiva $f : \left\{1,2,3,\ldots \right\}\rightarrow \left\{0,1,2,3,\ldots \right\}$ tal que $f(mn)=f(m)+f(n)+3f(m)f(n)$.

1 Escriba el número $\frac{1997}{1998}$ como una suma de números distintos, inversos de números naturales.

12 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $T$ la intersección de las tangentes en $B$ y $C$ a $\Gamma$. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $TBC$ y sean $M(\neq T)$ y $N(\neq T)$ las segundas intersecciones de $TA$ y $TD$ con $\omega$, respectivamente. Sean $AD$ y $BC$ rectas que se cortan en $E$ y sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $EMN$. Si $AD$ corta a $\Omega$ nuevamente en $X \neq E$, demuestre que la recta tangente a $\Omega$ en $X$ es también tangente a $\omega$. Propuesto por Malay Mahajan y Siddharth Choppara Rijul

9 Sea $p$ un número primo. Demuestre que no existe ningún número divisible por $p$ en la fila $n$-ésima del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse de la forma $n = p^sq - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.

4 Considere un tablero de $2025\times 2025$ donde identificamos las casillas con pares $(i,j)$ donde $i$ y $j$ denotan el número de fila y columna de dicha casilla, respectivamente. Calvin elige dos enteros positivos $a,b<2025$ y coloca un peón en la esquina inferior izquierda (es decir, en $(1,1)$) y realiza los siguientes movimientos. En su $k$-ésimo movimiento, mueve el peón de $(i,j)$ a $(i+a,j)$ o $(i,j+a)$ si $k$ es impar, y a $(i+b,j)$ o $(i,j+b)$ si $k$ es par. Aquí todos los números se toman módulo $2025$. Encuentre el número de pares $(a,b)$ que Calvin pudo haber elegido de tal manera que pueda realizar movimientos para que el peón cubra todas las casillas del tablero sin estar en ninguna casilla dos veces. Propuesto por Tejaswi Navilarekallu Rijul

20 Tras haber ganado las elecciones en Linetown, Turbo el Caracol se ha convertido en alcalde, y uno de los problemas más urgentes en los que necesita trabajar es la red de carreteras. Linetown puede representarse como una configuración de $2025$ líneas en el plano, de las cuales no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Hay una casa en Linetown por cada intersección de dos líneas. Las $2025$ líneas son utilizadas como carreteras por los habitantes del pueblo. En el pasado, las carreteras en Linetown solían ser de doble sentido, pero esto a menudo llevaba a que los residentes regresaran accidentalmente en bicicleta al lugar donde comenzaron. Turbo quiere hacer que cada una de las $2025$ carreteras sea de sentido único, de tal manera que sea imposible para cualquier residente comenzar en una casa, seguir las carreteras en las direcciones correctas y terminar de vuelta en la casa original. ¿De cuántas maneras puede Turbo lograr esto? Propuesto por Archit Manas Rijul