15 Demuestre que la suma de los seis ángulos subtendidos en un punto interior de un tetraedro por sus seis aristas es mayor que 540°.

14 Sea $\{x_n\}$ una sucesión de números naturales tal que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\] Demuestre que, para todo número natural $k$, existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$

17 Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$, sea $B_i$ un punto interior del lado opuesto a $A_i$. Demuestre que las mediatrices de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

6 Encuentre los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

3 Demuestre que la ecuación \[ x^n + 1 = y^{n+1}, \] donde $n$ es un entero positivo no menor que 2, no tiene soluciones en enteros positivos $x$ e $y$ para las cuales $x$ y $n+1$ sean primos entre sí.

5 En un sistema de coordenadas rectangulares, llamamos a una línea horizontal paralela al eje $x$ triangular si interseca la curva con ecuación \[y = x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s\] en los puntos $A, B, C$ y $D$ (de izquierda a derecha) tales que los segmentos $AB, AC$ y $AD$ son los lados de un triángulo. Demuestre que las líneas paralelas al eje $x$ que intersecan la curva en cuatro puntos distintos son todas triangulares o ninguna de ellas es triangular.

4 Determine todos los enteros positivos $n$ tales que se cumple la siguiente afirmación: Si un polígono convexo de $2n$ lados $A_1 A_2 \ldots A_{2n}$ está inscrito en un círculo y $n-1$ de sus $n$ pares de lados opuestos son paralelos, lo que significa que si los pares de lados opuestos \[(A_1 A_2, A_{n+1} A_{n+2}), (A_2 A_3, A_{n+2} A_{n+3}), \ldots , (A_{n-1} A_n, A_{2n-1} A_{2n})\] son paralelos, entonces los lados \[ A_n A_{n+1}, A_{2n} A_1\] también son paralelos.

6 Demuestre que la sucesión de los primeros dígitos de los números de la forma $2^n+3^n$ no es periódica.

8 Sea la pirámide $ABCD$. Sea $O$ el punto medio de la arista $AC$. Dado que $DO$ es la altura de la pirámide, $AB=BC=2DO$ y el ángulo $ABC$ es recto. Corte esta pirámide en $8$ pirámides iguales y semejantes a ella.

7 Se consideran todas las sucesiones posibles de números $-1$ y $+1$ de longitud $100$. Para cada una de ellas, se calcula el cuadrado de la suma de sus términos. Encuentre el promedio aritmético de los valores resultantes.