5 Sean $a_1,a_2,...,a_k$ enteros positivos, y sea $P$ su producto. Considere la ecuación $$n= \left \lceil \frac{n}{a_1} \right\rceil + \left\lceil \frac{n}{a_2} \right\rceil + \cdots + \left\lceil \frac{n}{a_k} \right\rceil.$$ Suponga que la ecuación tiene estrictamente más de $\frac{P}{2}$ soluciones en enteros positivos $n$. Demuestre que tiene al menos $P$ soluciones en enteros no negativos $n$. Propuesto por Shantanu Nene Rijul

6 Una empresa tiene $2n+1$ empleados, algunos de los cuales se conocen entre sí ($A$ conoce a $B$, y $B$ conoce a $A$). Si, para cualesquiera $n$ empleados, siempre existe un empleado entre los empleados restantes que conoce a todos ellos, entonces demuestre que existe un empleado en la empresa que conoce a todos los demás.

1 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $D, E, F$ se eligen sobre los lados $AB, BC$ y $AC$, respectivamente, de tal manera que $ADEF$ es un rombo. Los circuncírculos de $BDE$ y $CFE$ intersecan a $AE$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestre que $OP=OQ$. Propuesto por Ariel García

4 Demuestre que la ecuación $$a^2b=2017(a+b)$$ no tiene soluciones para enteros positivos $a$ y $b$. Propuesto por Oriol Solé

1 Sean $a,b,c$ números reales que satisfacen $$\max \{a(b^2+c^2),b(c^2+a^2),c(a^2+b^2) \} \leqslant 2abc+1$$ Demuestre que $$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) \leqslant 6abc+2$$ y determine todos los casos de igualdad. Propuesto por Shantanu Nene Rijul

3 Sea $N \geqslant 2024!$ un entero positivo. Alice y Bob juegan el siguiente juego, en el cual Alice comienza y luego alternan turnos. Ellos determinan los números $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{2025}$ de la siguiente manera. En el turno $k$-ésimo, el jugador a quien le corresponde el turno elige $a_{k-1}$ como un entero tal que: $\bullet$ $1 \leqslant a_{k-1} \leqslant N$ $\bullet$ Existe un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que $P(i) = a_i$ para $0 \leqslant i \leqslant k-1$. Alice gana si y solo si Bob no puede elegir un valor en uno de sus turnos, es decir, $a_1, a_3, \ldots$. En particular, ella también pierde si Bob es capaz de elegir $a_{2025}$ exitosamente. Determine todos los valores de $N$ para los cuales Alice puede asegurar que ganará independientemente de la estrategia de Bob. Propuesto por Atul Shatavart Nadig y Rohan Goyal Rijul

3 Para cualquier entero positivo $x$, definimos $$ g(x) = \text{ el mayor divisor impar de } x, $$ $$ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{x}{g(x)} & \text{ si } x \text{ es par;} \\ 2^{\frac{x+1}{2}} & \text{ si } x \text{ es impar.} \end{cases} $$ Considere la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida por $x_1 = 1$, $x_{n + 1} = f(x_n)$. Demuestre que el entero $2018$ aparece en esta sucesión, determine el menor entero $n$ tal que $x_n = 2018$, y determine si $n$ es único o no.

4 Dado un triángulo $ABC$, sea $D$ la intersección de la recta que pasa por $A$ perpendicular a $AB$ y la recta que pasa por $B$ perpendicular a $BC$. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo. Demuestre que $DAPB$ es cíclico si y solo si $\angle BAP = \angle CBP$.

1 Dados los números reales $x$, $y$ y $z$, demuestre que $4x(y+z)(xy+xz+yz)+y^{2}z^{2} \ge 0$

2 Se celebra un torneo de ajedrez con la participación de niños y niñas. El número de niñas es el doble que el de niños. Cada jugador juega contra cada uno de los otros jugadores exactamente una vez. Al finalizar el torneo, no hubo empates y la razón entre las victorias de las niñas y las victorias de los niños fue $\frac{7}{9}$. ¿Cuántos jugadores participaron en el torneo?