463 Un libro contiene $30$ historias. Cada historia tiene un número diferente de páginas menor que $31$. La primera historia comienza en la página $1$ y cada historia comienza en una página nueva. ¿Cuál es el mayor número posible de historias que pueden comenzar en números de página impares?

395 Se trazan dos perpendiculares desde los puntos medios de cada lado de un triángulo acutángulo hacia los otros dos lados. Esos seis segmentos forman un hexágono. Demuestre que el área del hexágono es la mitad del área del triángulo.

418 El polinomio cuadrático $x^2+ax+b+1$ tiene raíces naturales. Demuestre que $(a^2+b^2)$ es un número compuesto.

442 Se sabe que, teniendo $6$ pesas, es posible equilibrar una balanza con cargas, cuyos pesos son números naturales consecutivos desde $1$ hasta $63$. Encuentre todos los conjuntos de pesas posibles.

397 ¿Cuál es el número máximo de fichas de damas que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $8\times 8$ de tal manera que cada ficha pueda ser capturada por al menos otra ficha?

444 El juego de "Batalla naval". a) Usted intenta encontrar el barco de $4$ casillas, un rectángulo de $1x4$, situado en un tablero de juego de $7x7$. Se le permite hacer la pregunta de si ocupa una casilla en particular o no. ¿Cuántas preguntas es necesario hacer para encontrar ese barco con seguridad? b) La misma pregunta, pero el barco es un conjunto conexo (es decir, sus casillas tienen lados comunes) de $4$ casillas.

22 Bugs Bunny desea elegir un número $k$ tal que toda colección de $k$ enteros positivos consecutivos contenga un entero cuya suma de dígitos sea divisible por $2025$. Encuentre el entero positivo $k$ más pequeño para el cual puede hacer esto, o demuestre que no existe ninguno. Propuesto por Saikat Debnath y MV Adhitya Rijul

10 Sea $k>2$ un entero. Llamamos a un par de enteros $(a,b)$ $k-$bueno si \[0\leqslant a<k,\hspace{0.2cm} 0<b \hspace{1cm} \text{y} \hspace{1cm} (a+b)^2=ka+b\] Demuestre que el número de pares $k-$buenos es una potencia de $2$. Propuesto por Prithwijit De y Rohan Goyal Rijul

20 Tras haber ganado las elecciones en Linetown, Turbo el Caracol se ha convertido en alcalde, y uno de los problemas más urgentes en los que necesita trabajar es la red de carreteras. Linetown puede representarse como una configuración de $2025$ líneas en el plano, de las cuales no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Hay una casa en Linetown por cada intersección de dos líneas. Las $2025$ líneas son utilizadas como carreteras por los habitantes del pueblo. En el pasado, las carreteras en Linetown solían ser de doble sentido, pero esto a menudo llevaba a que los residentes regresaran accidentalmente en bicicleta al lugar donde comenzaron. Turbo quiere hacer que cada una de las $2025$ carreteras sea de sentido único, de tal manera que sea imposible para cualquier residente comenzar en una casa, seguir las carreteras en las direcciones correctas y terminar de vuelta en la casa original. ¿De cuántas maneras puede Turbo lograr esto? Propuesto por Archit Manas Rijul

18 Suponga que el grimorio de Alice tiene el número $1$ escrito en la primera página y $n$ páginas vacías. Suponga que en cada uno de los siguientes $n$ segundos, Alice puede pasar a la página siguiente y escribir la suma o el producto de dos números (posiblemente iguales) que ya estén escritos en su grimorio. Sea $F(n)$ el número más grande posible tal que para todo $k < F(n)$, Alice pueda escribir el número $k$ en la última página de su grimorio. Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo $n>N$, tenemos que \[n^{0.99n}\leqslant F(n)\leqslant n^{1.01n}.\] Propuesto por Rohan Goyal y Pranjal Srivastava Rijul