9.1 Se han dibujado en una hoja de papel rectangular varios segmentos de recta paralelos a sus lados. Estos segmentos dividieron la hoja en varios rectángulos, dentro de los cuales no hay líneas dibujadas. Petya quiere dibujar una diagonal en cada uno de los rectángulos, dividiéndolo en dos triángulos, y colorear cada triángulo de negro o blanco. ¿Es siempre posible hacer esto de tal manera que no haya dos triángulos del mismo color que compartan un segmento de su frontera?

3 En el triángulo $ABC$, sea $\omega$ el excírculo opuesto a $A$. Sean $D, E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. El círculo $AEF$ corta a la recta $BC$ en $P$ y $Q$. Sea $M$ el punto medio de $AD$. Demuestre que el círculo $MPQ$ es tangente a $\omega$.

538 Un boleto de lotería tiene $50$ casillas en las cuales se debe colocar una permutación de $1, 2, 3, ... , 50$. Cualquier boleto con al menos una casilla que coincida con la permutación ganadora obtiene un premio. ¿Cuántos boletos se necesitan para asegurar la obtención de un premio?

398 Se deben pintar todos los lados y diagonales de un $n$-gono regular de tal manera que cada par de segmentos que tengan un punto en común sea pintado con colores diferentes. ¿Cuántos colores se requerirán?

371 a) El producto de $n$ enteros es igual a $n$, y su suma es cero. Demuestre que $n$ es divisible por $4$. b) Sea $n$ divisible por $4$. Demuestre que existen $n$ enteros tales que su producto es igual a $n$ y su suma es cero.

512 La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo forma ángulos iguales con las diagonales. Demuestre que las diagonales son iguales.

2 Un rectángulo $\mathcal{R}$ con longitudes de lado enteras impares se divide en rectángulos pequeños con longitudes de lado enteras. Demuestre que existe al menos uno entre los rectángulos pequeños cuyas distancias a los cuatro lados de $\mathcal{R}$ son todas impares o todas pares. Propuesto por Jeck Lim, Singapur

El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $AB$ en $M$. Sea $N$ cualquier punto en el segmento $BC$. Demuestre que los incírculos de $AMN$, $BMN$ y $ACN$ tienen una tangente común.

1 Para un entero positivo $n$, los números $2n+1$ y $3n+1$ son ambos cuadrados perfectos. ¿Es posible que $5n+3$ sea primo? Amir

4 $f(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros. Si los números $f(1),f(2),\ldots$ se dividen por un número $m$ de $100$ dígitos y los residuos son solo $0$ y $1$, entonces demuestre que $m=3^n$, $n\in\mathbb N$, o $m$ es un número con $11$ dígitos idénticos.