371 a) El producto de $n$ enteros es igual a $n$, y su suma es cero. Demuestre que $n$ es divisible por $4$. b) Sea $n$ divisible por $4$. Demuestre que existen $n$ enteros tales que su producto es igual a $n$ y su suma es cero.

Dos cuadrados iguales, uno con lados rojos y otro con lados azules, forman un octágono en su intersección. Demuestre que la suma de las longitudes de los lados rojos del octágono es igual a la suma de las longitudes de los lados azules del octágono.

466 Dada una sucesión de $19$ enteros positivos que no exceden $88$ y otra sucesión de $88$ enteros positivos que no exceden $19$. Demuestre que podemos encontrar dos subsecuencias de términos consecutivos, una de cada sucesión, con la misma suma.

398 Se deben pintar todos los lados y diagonales de un $n$-gono regular de tal manera que cada par de segmentos que tengan un punto en común sea pintado con colores diferentes. ¿Cuántos colores se requerirán?

8 Suponga que \( n \in \mathbb{N} \) es un número natural. Una función \( f(x, y) \) se denomina \textit{\( n \)-amigable} si para menos del 1\% de los enteros \( k \) con \( -n \leq k \leq n \), la ecuación \( f(x, y) = k \) tiene una solución en números naturales \( (x, y) \) tal que \( \frac{y_0}{x_0} \in \left[\frac{1}{100}, 100\right] \), donde \( (x_0, y_0) \) es una solución. Suponga que \( f(x, y) \leq g(x, y) \), donde \( g(x, y) \) es un polinomio con coeficientes reales, coeficientes principales negativos y grado total mayor que 2, y para todo número real \( x \), tenemos que \( g(x, y) \to \infty \) cuando \( \frac{y}{x} \in \left[\frac{1}{100}, 100\right] \). Demuestre que para \( n \) suficientemente grande, la función \( f \) no es \( n \)-amigable. Propuesto por Navid Safaei

3 En el triángulo $ABC$, sea $\omega$ el excírculo opuesto a $A$. Sean $D, E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. El círculo $AEF$ corta a la recta $BC$ en $P$ y $Q$. Sea $M$ el punto medio de $AD$. Demuestre que el círculo $MPQ$ es tangente a $\omega$.

9.1 Se han dibujado en una hoja de papel rectangular varios segmentos de recta paralelos a sus lados. Estos segmentos dividieron la hoja en varios rectángulos, dentro de los cuales no hay líneas dibujadas. Petya quiere dibujar una diagonal en cada uno de los rectángulos, dividiéndolo en dos triángulos, y colorear cada triángulo de negro o blanco. ¿Es siempre posible hacer esto de tal manera que no haya dos triángulos del mismo color que compartan un segmento de su frontera?

1 Sean $a_1,a_2,\ldots a_n,k$ y $M$ enteros positivos tales que $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=k\quad\text{y}\quad a_1a_2\cdots a_n=M.$$ Si $M>1$, demuestre que el polinomio $$P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$$ no tiene raíces positivas.

421 El rey de cierto estado desea construir $n$ ciudades y $n-1$ carreteras, conectándolas para brindar la posibilidad de trasladarse de cualquier ciudad a cualquier otra. (Cada carretera conecta dos ciudades, las carreteras no se cruzan y no pasan a través de otra ciudad). Él también desea que las distancias más cortas entre las ciudades, a lo largo de las carreteras, sean $1, 2, 3, \dots, n(n-1)/2$ kilómetros. ¿Es posible para a) $n=6$ b) $n=1986$?

3 a) Cada lado de un triángulo rectángulo se divide en $42$ partes iguales y los puntos de división se conectan mediante líneas paralelas a los lados, las cuales dividen al triángulo en $1764$ triángulos pequeños. Entonces, ¿cuántos vértices de estos triángulos pequeños se pueden elegir como máximo de modo que no haya dos de ellos que se encuentren sobre la misma línea o lado? b) Cada lado de un triángulo rectángulo se divide en $6k$ partes iguales y los puntos de división se conectan mediante líneas paralelas a los lados, las cuales dividen al triángulo en $36k^2$ triángulos pequeños. Entonces, ¿cuántos vértices de estos triángulos pequeños se pueden elegir como máximo de modo que no haya dos de ellos que se encuentren sobre la misma línea o lado?