12 En un triángulo escaleno $ABC$, los puntos $Y$ y $X$ yacen sobre $AC$ y $BC$ respectivamente, tales que $BC \perp XY$. Los puntos $Z$ y $T$ son las reflexiones de $X$ y $Y$ con respecto a los puntos medios de los lados $BC$ y $AC$, respectivamente. El punto $P$ yace sobre el segmento $ZT$ tal que el circuncentro del triángulo $XZP$ coincide con el circuncentro del triángulo $ABC$. Demuestre que el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC$ pasa por el punto medio del segmento $XP$. Propuesto por Amirmahdi Mohseni

3 a) Cada lado de un triángulo rectángulo se divide en $42$ partes iguales y los puntos de división se conectan mediante líneas paralelas a los lados, las cuales dividen al triángulo en $1764$ triángulos pequeños. Entonces, ¿cuántos vértices de estos triángulos pequeños se pueden elegir como máximo de modo que no haya dos de ellos que se encuentren sobre la misma línea o lado? b) Cada lado de un triángulo rectángulo se divide en $6k$ partes iguales y los puntos de división se conectan mediante líneas paralelas a los lados, las cuales dividen al triángulo en $36k^2$ triángulos pequeños. Entonces, ¿cuántos vértices de estos triángulos pequeños se pueden elegir como máximo de modo que no haya dos de ellos que se encuentren sobre la misma línea o lado?

6 Encuentre todas las funciones \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) tales que para todos los números reales positivos \( x \) e \( y \), se tiene \[ f(f(f(xy)) + x^2) = f(y)(f(x) - f(x + y)). \] Propuesto por Sobhan Aram

512 La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo forma ángulos iguales con las diagonales. Demuestre que las diagonales son iguales.

371 a) El producto de $n$ enteros es igual a $n$, y su suma es cero. Demuestre que $n$ es divisible por $4$. b) Sea $n$ divisible por $4$. Demuestre que existen $n$ enteros tales que su producto es igual a $n$ y su suma es cero.

537 Cuatro rectas en el plano se cortan en seis puntos. Cada recta queda así dividida en dos segmentos y dos rayos. ¿Es posible que los ocho segmentos tengan longitudes $1, 2, 3, ... , 8$? ¿Pueden las longitudes de los ocho segmentos ser ocho enteros distintos?

3 En el triángulo $ABC$, sea $\omega$ el excírculo opuesto a $A$. Sean $D, E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. El círculo $AEF$ corta a la recta $BC$ en $P$ y $Q$. Sea $M$ el punto medio de $AD$. Demuestre que el círculo $MPQ$ es tangente a $\omega$.

8 Suponga que \( n \in \mathbb{N} \) es un número natural. Una función \( f(x, y) \) se denomina \textit{\( n \)-amigable} si para menos del 1\% de los enteros \( k \) con \( -n \leq k \leq n \), la ecuación \( f(x, y) = k \) tiene una solución en números naturales \( (x, y) \) tal que \( \frac{y_0}{x_0} \in \left[\frac{1}{100}, 100\right] \), donde \( (x_0, y_0) \) es una solución. Suponga que \( f(x, y) \leq g(x, y) \), donde \( g(x, y) \) es un polinomio con coeficientes reales, coeficientes principales negativos y grado total mayor que 2, y para todo número real \( x \), tenemos que \( g(x, y) \to \infty \) cuando \( \frac{y}{x} \in \left[\frac{1}{100}, 100\right] \). Demuestre que para \( n \) suficientemente grande, la función \( f \) no es \( n \)-amigable. Propuesto por Navid Safaei

9.1 Se han dibujado en una hoja de papel rectangular varios segmentos de recta paralelos a sus lados. Estos segmentos dividieron la hoja en varios rectángulos, dentro de los cuales no hay líneas dibujadas. Petya quiere dibujar una diagonal en cada uno de los rectángulos, dividiéndolo en dos triángulos, y colorear cada triángulo de negro o blanco. ¿Es siempre posible hacer esto de tal manera que no haya dos triángulos del mismo color que compartan un segmento de su frontera?

5 En un triángulo escaleno $ABC$, $D$ es el punto de tangencia del incírculo con el lado $BC$. Los puntos $T_B$ y $T_C$ son las intersecciones de las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ con el circuncírculo de $ABC$, respectivamente. Sea $X_B$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en el circuncírculo de $ACD$, y sea $X_C$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en el circuncírculo de $ABD$. Demuestre que los triángulos $B T_C X_C$ y $C T_B X_B$ son semejantes. Propuesto por Sobhan Aram