2 Un rectángulo $\mathcal{R}$ con longitudes de lado enteras impares se divide en rectángulos pequeños con longitudes de lado enteras. Demuestre que existe al menos uno entre los rectángulos pequeños cuyas distancias a los cuatro lados de $\mathcal{R}$ son todas impares o todas pares. Propuesto por Jeck Lim, Singapur

464 $ABCD$ es un cuadrilátero convexo. Los puntos medios de las diagonales y los puntos medios de $AB$ y $CD$ forman otro cuadrilátero convexo $Q$. Los puntos medios de las diagonales y los puntos medios de $BC$ y $CA$ forman un tercer cuadrilátero convexo $Q'$. Las áreas de $Q$ y $Q'$ son iguales. Demuestre que $AC$ o $BD$ divide a $ABCD$ en dos partes de igual área.

490 Un entero positivo $n$ tiene exactamente $12$ divisores positivos $1 = d_1 < d_2 < d_3 < ... < d_{12} = n$. Sea $m = d_4 - 1$. Tenemos $d_m = (d_1 + d_2 + d_4) d_8$. Encuentre $n$.

421 El rey de cierto estado desea construir $n$ ciudades y $n-1$ carreteras, conectándolas para brindar la posibilidad de trasladarse de cualquier ciudad a cualquier otra. (Cada carretera conecta dos ciudades, las carreteras no se cruzan y no pasan a través de otra ciudad). Él también desea que las distancias más cortas entre las ciudades, a lo largo de las carreteras, sean $1, 2, 3, \dots, n(n-1)/2$ kilómetros. ¿Es posible para a) $n=6$ b) $n=1986$?

4 Los números del 2 al 99 están escritos en una pizarra. En cada paso, se realiza una de las siguientes operaciones: $a)$ Elija un número natural \( i \) tal que \( 2 \leq i \leq 89 \). Si ambos números \( i \) e \( i+10 \) están en la pizarra, bórrelos ambos. $b)$ Elija un número natural \( i \) tal que \( 2 \leq i \leq 98 \). Si ambos números \( i \) e \( i+1 \) están en la pizarra, bórrelos ambos. Al realizar estas operaciones, ¿cuál es el número máximo de números que pueden ser borrados de la pizarra? Propuesto por Arvin Taheri y Sajjad Hosseini

1. Si $N = 1! + 2! + 3! + \cdots + 2011!$ , entonces el dígito en la posición de las unidades del número $N$ es $\textbf{(A)}\; 1 \quad \textbf{(B)}\; 3 \quad \textbf{(C)}\; 0 \quad \textbf{(D)}\; 9.$ 2. El conjunto de todos los puntos $z$ en el plano complejo que satisfacen $z^2 = |z|^2$ es un $\textbf{(A)}\; \text{par de puntos} \quad \textbf{(B)}\; \text{círculo} \quad \textbf{(C)}\; \text{unión de rectas} \quad \textbf{(D)}\; \text{recta}.$ 3. Si la media aritmética de dos números es $26$ y su media geométrica es $10$ , entonces la ecuación que tiene a estos dos números como raíces es $\textbf{(A)}\; x^2 + 52x + 100 = 0 \quad \textbf{(B)}\; x^2 + 52x - 100 = 0 \quad \textbf{(C)}\; x^2 - 52x + 100 = 0 \quad \textbf{(D)}\; x^2 + 52x - 10 = 0.$ 4. Todos los puntos que yacen dentro del triángulo con vértices en los puntos $(1,3)$ , $(5,0)$ , $(-1,2)$ satisfacen $\textbf{(A)}\; 3x + 2y \ge 0 \quad \textbf{(B)}\; 2x + y - 13 \ge 0 \quad \textbf{(C)}\; 2x - 3y - 12 \ge 0 \quad \textbf{(D)}\; -2x + y \ge 0.$ 5. Para $n \ge 3$ , sea $A$ una matriz de $n \times n$. Si el rango de $A$ es $n - 2$ , entonces el rango de $\operatorname{adj}(A)$ es $\textbf{(A)}\; n - 2 \quad \textbf{(B)}\; 2 \quad \textbf{(C)}\; 1 \quad \textbf{(D)}\; 0.$ 6. Suponga que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función impar y diferenciable. Entonces, para todo $x_0 \in \mathbb{R}$ , $f'(-x_0)$ es igual a $\textbf{(A)}\; f'(x_0) \quad \textbf{(B)}\; -f'(x_0) \quad \textbf{(C)}\; 0 \quad \textbf{(D)}\; \text{Ninguna de estas}.$ 7. Si $S = \{a,b,c\}$ y la relación $R$ en el conjunto $S$ está dada por $R = \{(a,b),(c,c)\}$ , entonces $R$ es $\textbf{(A)}\; \text{reflexiva y transitiva} \quad \textbf{(B)}\; \text{reflexiva pero no transitiva} \quad \textbf{(C)}\; \text{no reflexiva pero transitiva} \quad \textbf{(D)}\; \text{ni reflexiva ni transitiva}.$ 8. Sea $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = \left(\frac{1+n}{n}\right)a_n$ para $n \ge 1$ . Entonces la sucesión $\{a_n\}$ es $\textbf{(A)}\; \text{divergente} \quad \textbf{(B)}\; \text{decreciente} \quad \textbf{(C)}\; \text{convergente} \quad \textbf{(D)}\; \text{acotada}.$ 9. El coeficiente de $x^{2n-2}$ en $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\cdots(x-n)(x+n)$ es $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; -\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \quad \textbf{(C)}\; \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \quad \textbf{(D)}\; -\dfrac{n(n+1)}{2}.$ 10. El número de raíces de $5x^4 - 4x + 1 = 0$ en $[0,1]$ es $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; 2 \quad \textbf{(D)}\; 3.$

5 Divida cada lado de un triángulo en $50$ partes iguales, y cada punto de la división se une con el vértice opuesto mediante un segmento. Calcule el número de puntos de intersección determinados por estos segmentos. Aclaración: los vértices del triángulo original no se consideran puntos de intersección ni de división.

1 Sean $a_1,a_2,\ldots a_n,k$ y $M$ enteros positivos tales que $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=k\quad\text{y}\quad a_1a_2\cdots a_n=M.$$ Si $M>1$, demuestre que el polinomio $$P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$$ no tiene raíces positivas.

558 Demuestre que $x^4 + y^4 + z^2\ge xyz \sqrt8$ para todos los números reales positivos $x, y, z$.

536 números $n$ están escritos en una pizarra. Alguien borra repetidamente dos números y escribe en su lugar la mitad de su media aritmética, hasta que solo queda un único número. Si todos los números originales eran $1$, demuestre que el número final no es menor que $\frac{1}{n}$.