487 $7$ niños fueron cada uno a una tienda $3$ veces. Cada par se encontró en la tienda. Demuestre que $3$ deben haber estado en la tienda al mismo tiempo.

442 Se sabe que, teniendo $6$ pesas, es posible equilibrar una balanza con cargas, cuyos pesos son números naturales consecutivos desde $1$ hasta $63$. Encuentre todos los conjuntos de pesas posibles.

Dos cuadrados iguales, uno con lados rojos y otro con lados azules, forman un octágono en su intersección. Demuestre que la suma de las longitudes de los lados rojos del octágono es igual a la suma de las longitudes de los lados azules del octágono.

466 Dada una sucesión de $19$ enteros positivos que no exceden $88$ y otra sucesión de $88$ enteros positivos que no exceden $19$. Demuestre que podemos encontrar dos subsecuencias de términos consecutivos, una de cada sucesión, con la misma suma.

418 El polinomio cuadrático $x^2+ax+b+1$ tiene raíces naturales. Demuestre que $(a^2+b^2)$ es un número compuesto.

463 Un libro contiene $30$ historias. Cada historia tiene un número diferente de páginas menor que $31$. La primera historia comienza en la página $1$ y cada historia comienza en una página nueva. ¿Cuál es el mayor número posible de historias que pueden comenzar en números de página impares?

396 ¿Existe algún número $n$ tal que la suma de sus dígitos en la notación decimal sea $1000$ y la suma de los cuadrados de sus dígitos en la notación decimal sea $1000000$?

395 Se trazan dos perpendiculares desde los puntos medios de cada lado de un triángulo acutángulo hacia los otros dos lados. Esos seis segmentos forman un hexágono. Demuestre que el área del hexágono es la mitad del área del triángulo.

397 ¿Cuál es el número máximo de fichas de damas que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $8\times 8$ de tal manera que cada ficha pueda ser capturada por al menos otra ficha?

444 El juego de "Batalla naval". a) Usted intenta encontrar el barco de $4$ casillas, un rectángulo de $1x4$, situado en un tablero de juego de $7x7$. Se le permite hacer la pregunta de si ocupa una casilla en particular o no. ¿Cuántas preguntas es necesario hacer para encontrar ese barco con seguridad? b) La misma pregunta, pero el barco es un conjunto conexo (es decir, sus casillas tienen lados comunes) de $4$ casillas.