488 ¿Se pueden ensamblar $77$ bloques de $3 \times 3 \times 1$ cada uno para formar un bloque de $7 \times 9 \times 11$?

3 a) Cada lado de un triángulo rectángulo se divide en $42$ partes iguales y los puntos de división se conectan mediante líneas paralelas a los lados, las cuales dividen al triángulo en $1764$ triángulos pequeños. Entonces, ¿cuántos vértices de estos triángulos pequeños se pueden elegir como máximo de modo que no haya dos de ellos que se encuentren sobre la misma línea o lado? b) Cada lado de un triángulo rectángulo se divide en $6k$ partes iguales y los puntos de división se conectan mediante líneas paralelas a los lados, las cuales dividen al triángulo en $36k^2$ triángulos pequeños. Entonces, ¿cuántos vértices de estos triángulos pequeños se pueden elegir como máximo de modo que no haya dos de ellos que se encuentren sobre la misma línea o lado?

6 Sea $n > 2$ un número natural. Se dice que un subconjunto $A$ de $R$ es $n$-pequeño si existen $n$ números reales $t_1, t_2, ..., t_n$ tales que los conjuntos $t_1 + A, t_2 + A, ..., t_n + A$ son distintos. Demuestre que $R$ no puede representarse como una unión de $n - 1$ conjuntos $n$-pequeños. Notación: si $r \in R$ y $B \subset R$, entonces $r + B = \{ r + b \mid b \in B\}$.

1.3 Demuestre que la ecuación $a^2 - b^2=ab - 1$ tiene infinitas soluciones, si $a,b$ son enteros positivos

8 Suponga que \( n \in \mathbb{N} \) es un número natural. Una función \( f(x, y) \) se denomina \textit{\( n \)-amigable} si para menos del 1\% de los enteros \( k \) con \( -n \leq k \leq n \), la ecuación \( f(x, y) = k \) tiene una solución en números naturales \( (x, y) \) tal que \( \frac{y_0}{x_0} \in \left[\frac{1}{100}, 100\right] \), donde \( (x_0, y_0) \) es una solución. Suponga que \( f(x, y) \leq g(x, y) \), donde \( g(x, y) \) es un polinomio con coeficientes reales, coeficientes principales negativos y grado total mayor que 2, y para todo número real \( x \), tenemos que \( g(x, y) \to \infty \) cuando \( \frac{y}{x} \in \left[\frac{1}{100}, 100\right] \). Demuestre que para \( n \) suficientemente grande, la función \( f \) no es \( n \)-amigable. Propuesto por Navid Safaei

538 Un boleto de lotería tiene $50$ casillas en las cuales se debe colocar una permutación de $1, 2, 3, ... , 50$. Cualquier boleto con al menos una casilla que coincida con la permutación ganadora obtiene un premio. ¿Cuántos boletos se necesitan para asegurar la obtención de un premio?

558 Demuestre que $x^4 + y^4 + z^2\ge xyz \sqrt8$ para todos los números reales positivos $x, y, z$.

559 $E$ es un punto en la diagonal $BD$ del cuadrado $ABCD$. Demuestre que los puntos $A, E$ y los circuncentros de $ABE$ y $ADE$ forman un cuadrado.

395 Se trazan dos perpendiculares desde los puntos medios de cada lado de un triángulo acutángulo hacia los otros dos lados. Esos seis segmentos forman un hexágono. Demuestre que el área del hexágono es la mitad del área del triángulo.

514 ¿Existe un rectángulo que pueda ser disecado en $15$ polígonos congruentes que no sean rectángulos? ¿Puede un cuadrado ser disecado en $15$ polígonos congruentes que no sean rectángulos?