269 ¿Cuál es la menor razón posible entre las áreas de dos triángulos isósceles, si tres vértices del primero pertenecen a tres lados diferentes del segundo?

284 Todos los números de dos dígitos desde $19$ hasta $80$ se escriben en una línea sin espacios. ¿Es el número obtenido $192021....7980$ divisible por $1980$ ?

350 Tres números fueron escritos con tiza en la pizarra. La siguiente operación se repitió varias veces: uno de los números se borraba y, en su lugar, se escribía la suma de los otros dos números disminuida en $1$. El conjunto final de números es $\{17, 1967, 1983\}$. ¿Es posible admitir que los números iniciales fueron a) $\{2, 2, 2\}$? b) $\{3, 3, 3\}$?

306 Sea un número natural que tiene la propiedad $P(k)$ si puede representarse como un producto de $k$ números naturales consecutivos mayores que $1$. a) Encuentre $k$ tal que exista $n$ que tenga las propiedades $P(k)$ y $P(k+2)$ simultáneamente. b) Demuestre que no existe ningún número que tenga las propiedades $P(2)$ y $P(4)$ simultáneamente.

304 Dos tableros de ajedrez iguales ($8\times 8$) tienen el mismo centro, pero uno está rotado $45$ grados con respecto al otro. Encuentre el área total de la intersección de los campos negros, si los campos tienen lados de longitud unitaria.

270 Un saltamontes está saltando en el ángulo $x\ge 0, y\ge 0$ del plano de coordenadas (esto significa que no puede aterrizar en un punto con coordenada negativa). Si está en el punto $(x,y)$, puede saltar al punto $(x+1,y-1)$ o al punto $(x-5,y+7)$. Dibuje el conjunto de tales puntos iniciales $(x,y)$ de modo que, habiendo comenzado desde allí, un saltamontes no pueda alcanzar ningún punto a una distancia mayor que $1000$ del punto $(0,0)$. Encuentre su área.

220 Hay $50$ relojes exactos sobre una mesa. Demuestre que existe un momento determinado en el que la suma de las distancias desde el centro de la mesa hasta los extremos de los minuteros es mayor que la suma de las distancias desde el centro de la mesa hasta los centros de los relojes.

398 Se deben pintar todos los lados y diagonales de un $n$-gono regular de tal manera que cada par de segmentos que tengan un punto en común sea pintado con colores diferentes. ¿Cuántos colores se requerirán?

371 a) El producto de $n$ enteros es igual a $n$, y su suma es cero. Demuestre que $n$ es divisible por $4$. b) Sea $n$ divisible por $4$. Demuestre que existen $n$ enteros tales que su producto es igual a $n$ y su suma es cero.

512 La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo forma ángulos iguales con las diagonales. Demuestre que las diagonales son iguales.