086 a) La lámpara de un faro ilumina un ángulo de $90$ grados. Demuestre que es posible orientar las lámparas de cuatro faros colocados arbitrariamente de tal manera que todo el plano quede iluminado. b) Hay ocho lámparas en ocho puntos del espacio. Cada una puede iluminar un octante (un polígono espacial de tres caras con tres aristas mutuamente ortogonales). Demuestre que es posible orientarlas de tal manera que todo el espacio quede iluminado.

327 Dados dos puntos $M$ y $K$ en la circunferencia con radio $r_1$ y centro $O_1$. La circunferencia con radio $r_2$ y centro $O_2$ está inscrita en $\angle MO_1K$. Encuentre el área del cuadrilátero $MO_1KO_2$.

237 a) Dado un círculo con dos triángulos inscritos $T_1$ y $T_2$. Los vértices de $T_1$ son los puntos medios de los arcos cuyos extremos son los vértices de $T_2$. Considere un hexágono, la intersección de $T_1$ y $T_2$. Demuestre que sus diagonales principales son paralelas a los lados de $T_1$ y que se cortan en un mismo punto. b) El segmento que conecta los puntos medios de los arcos $AB$ y $AC$ del círculo circunscrito alrededor del triángulo $ABC$, corta a los lados $[AB]$ y $[AC]$ en los puntos $D$ y $K$. Demuestre que los puntos $A, D, K$ y $O$ —el centro del círculo— son los vértices de un rombo.

160 Dados $50$ segmentos en la recta. Demuestre que una de las siguientes afirmaciones es válida: 1. Algunos $8$ segmentos tienen un punto en común. 2. Algunos $8$ segmentos no se intersecan entre sí.

305 Dados los puntos $A, B, M, N$ en la circunferencia. Dos cuerdas $[MA_1]$ y $[MA_2]$ son ortogonales a las rectas $(NA)$ y $(NB)$ respectivamente. Demuestre que las rectas $(AA_1)$ y $(BB_1)$ son paralelas.

236 Dados varios puntos, no todos situados sobre una misma línea recta. Se asigna un número a cada punto. Se sabe que, si una línea recta contiene dos o más puntos, entonces la suma de los números asignados a dichos puntos es igual a cero. Demuestre que todos los números son iguales a cero.

129 Dado un círculo, su diámetro $[AB]$ y un punto $C$ en él. Construya (con la ayuda de regla y compás) dos puntos $X$ e $Y$, que sean simétricos con respecto a la recta $(AB)$, tales que $(YC)$ sea ortogonal a $(XA)$.

221 Una fila de $1000$ números está escrita en la pizarra. Escribimos una nueva fila, debajo de la primera, de acuerdo con la siguiente regla: escribimos debajo de cada número $a$ el número natural que indica cuántas veces aparece el número $a$ en la primera fila. Luego escribimos la tercera fila: debajo de cada número $b$ el número natural que indica cuántas veces aparece el número $b$ en la segunda fila, y así sucesivamente. a) Demuestre que existe una fila que coincide con la precedente. b) Demuestre que la undécima fila coincide con la duodécima. c) Dé un ejemplo de una fila inicial tal que la décima fila sea diferente de la undécima.

350 Tres números fueron escritos con tiza en la pizarra. La siguiente operación se repitió varias veces: uno de los números se borraba y, en su lugar, se escribía la suma de los otros dos números disminuida en $1$. El conjunto final de números es $\{17, 1967, 1983\}$. ¿Es posible admitir que los números iniciales fueron a) $\{2, 2, 2\}$? b) $\{3, 3, 3\}$?

372 Demuestre que para todo $a$ y $b$ positivos se cumple la desigualdad $$\frac{(a+b)^2}{2} + \frac{a+b}{4} \ge a\sqrt b + b\sqrt a$$