131 ¿Cuántos lados de un polígono convexo pueden ser iguales a su diagonal más larga?

087 a) ¿Puede usted colocar los números $0,1,...,9$ en la circunferencia de tal manera que la diferencia entre cada dos vecinos sea $3$, $4$ o $5$? b) La misma pregunta, pero para los números $0,1,...,13$.

207 ¿Cuál es el perímetro más pequeño de un polígono convexo de $32$ lados, cuyos vértices se encuentran en los nodos de una cuadrícula con lados de longitud $1$?

174 Catorce monedas son presentadas ante un juez. Un experto sabe que las monedas del número uno al siete son falsas, y del $8$ al $14$ son normales. El juez solo está seguro de que todas las monedas verdaderas tienen el mismo peso y todas las monedas falsas tienen pesos iguales entre sí, pero menores que el peso de las monedas verdaderas. El experto tiene una balanza de platillos sin pesas. a) El experto quiere demostrar que las monedas $1--7$ son falsas. ¿Cómo puede hacerlo en tres pesadas? b) ¿Cómo puede demostrar que las monedas $1--7$ son falsas y las monedas $8--14$ son verdaderas en tres pesadas?

252 Sea $a_n$ el entero más cercano a $\sqrt n$. Encuentre la suma $$1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_{1980}$$

286 La carga para la estación espacial "Salute" está empacada en contenedores. Hay más de $35$ contenedores y el peso total es de $18$ toneladas métricas. Hay $7$ naves de transporte de ida "Progress", cada una capaz de llevar $3$ toneladas métricas a la estación. Se sabe que son capaces de llevar un subconjunto arbitrario de $35$ contenedores. Demuestre que son capaces de llevar toda la carga.

330 Se escribe un número real no negativo en cada vértice de un cubo. La suma de esos números es igual a $1$. Dos jugadores eligen por turnos las caras del cubo, pero no pueden elegir la cara paralela a una ya elegida (el primero mueve dos veces, el segundo una vez). Demuestre que el primer jugador puede lograr que el número en el vértice común a las tres caras elegidas no sea mayor que $1/6$.

254 Demuestre que no existe $m$ tal que ($1978^m - 1$) sea divisible por ($1000^m - 1$).

074 ¿Pueden tanto $(x^2+y)$ como $(y^2+x)$ ser cuadrados perfectos para $x$ e $y$ naturales?

253 Dado un cuadrilátero $ABCD$ y un punto $M$ en su interior tal que $ABMD$ es un paralelogramo. $\angle CBM = \angle CDM$. Demuestre que $\angle ACD = \angle BCM$.