373 Dados dos triángulos equiláteros $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ en el plano. (Los vértices se mencionan en sentido antihorario.) Dibujamos vectores $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$, desde un punto arbitrario $O$, iguales a $\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{B_1B_2}, \overrightarrow{C_1C_2}$ respectivamente. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

174 Catorce monedas son presentadas ante un juez. Un experto sabe que las monedas del número uno al siete son falsas, y del $8$ al $14$ son normales. El juez solo está seguro de que todas las monedas verdaderas tienen el mismo peso y todas las monedas falsas tienen pesos iguales entre sí, pero menores que el peso de las monedas verdaderas. El experto tiene una balanza de platillos sin pesas. a) El experto quiere demostrar que las monedas $1--7$ son falsas. ¿Cómo puede hacerlo en tres pesadas? b) ¿Cómo puede demostrar que las monedas $1--7$ son falsas y las monedas $8--14$ son verdaderas en tres pesadas?

074 ¿Pueden tanto $(x^2+y)$ como $(y^2+x)$ ser cuadrados perfectos para $x$ e $y$ naturales?

252 Sea $a_n$ el entero más cercano a $\sqrt n$. Encuentre la suma $$1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_{1980}$$

094 Dado un octágono con ángulos iguales. Las longitudes de todos los lados son enteros. Demuestre que los lados opuestos son iguales por pares. redacción alternativa Considere un octágono con ángulos iguales y con lados racionales. Demuestre que tiene un centro de simetría.

177 Dado un ángulo con vértice $O$ y un círculo que toca sus lados en los puntos $A$ y $B$. Se traza un rayo desde el punto $A$ paralelo a $[OB)$. Este se interseca con la circunferencia en el punto $C$. El segmento $[OC]$ interseca la circunferencia en el punto $E$. Las líneas rectas $(AE)$ y $(OB)$ se intersecan en el punto $K$. Demuestre que $|OK| = |KB|$.

159 Dado un rectángulo $ABCD$, sean $M$ el punto medio del lado $[AD]$ y $N$ el punto medio del lado $[BC]$. Sea $P$ un punto en la prolongación del segmento $[DC]$ más allá del punto $D$. Denotemos el punto de intersección de las rectas $(PM)$ y $(AC)$ como $Q$. Demuestre que $\angle QNM= \angle MNP$.

130 El producto de tres números positivos es igual a uno, su suma es estrictamente mayor que la suma de sus inversos. Demuestre que uno y solo uno de ellos es mayor que uno.

223 Los números naturales $x_1$ y $x_2$ son menores que $1000$. Construimos una sucesión: $$x_3 = |x_1 - x_2|$$ $$x_4 = min \{ |x_1 - x_2|, |x_1 - x_3|, |x_2 - x_3|\}$$ $$...$$ $$x_k = min \{ |x_i - x_j|, 0 <i < j < k\}$$ $$...$$ Demuestre que $x_{21} = 0$.

161 Encuentre el $x$ máximo tal que la expresión $4^{27} + 4^{1000} + 4^x$ sea un cuadrado perfecto.