130 El producto de tres números positivos es igual a uno, su suma es estrictamente mayor que la suma de sus inversos. Demuestre que uno y solo uno de ellos es mayor que uno.

094 Dado un octágono con ángulos iguales. Las longitudes de todos los lados son enteros. Demuestre que los lados opuestos son iguales por pares. redacción alternativa Considere un octágono con ángulos iguales y con lados racionales. Demuestre que tiene un centro de simetría.

118 Dados números positivos $a,b,c,d$. Demuestre que el conjunto de desigualdades $$a+b<c+d$$ $$(a+b)(c+d)<ab+cd$$ $$(a+b)cd<ab(c+d)$$ contiene al menos una incorrecta.

131 ¿Cuántos lados de un polígono convexo pueden ser iguales a su diagonal más larga?

349 Cada celda de una cuadrícula de $4\times 4$ tiene un tamaño de $1\times 1$. ¿Es posible representar esta cuadrícula como una unión de los siguientes conjuntos: a) Ocho líneas quebradas de longitud cinco cada una? b) Cinco líneas quebradas de longitud ocho cada una?

087 a) ¿Puede usted colocar los números $0,1,...,9$ en la circunferencia de tal manera que la diferencia entre cada dos vecinos sea $3$, $4$ o $5$? b) La misma pregunta, pero para los números $0,1,...,13$.

073 a) Sean $B$ y $C$ puntos dentro del segmento $[AD]$. $|AB|=|CD|$. Demuestre que para todos los puntos $P$ en el plano se cumple la desigualdad $$|PA|+|PD|>|PB|+|PC|$$ b) Dados cuatro puntos $A,B,C,D$ en el plano. Para todos los puntos $P$ en el plano se cumple la desigualdad $$|PA|+|PD| > |PB|+|PC|.$$ Demuestre que los puntos $B$ y $C$ están dentro del segmento $[AD]$ y $|AB|=|CD|$.

058 Un círculo está circunscrito alrededor del triángulo $ABC$. Las cuerdas, desde el punto medio del arco $AC$ hasta los puntos medios de los arcos $AB$ y $BC$, intersecan los lados $[AB]$ y $[BC]$ en los puntos $D$ y $E$. Demuestre que $(DE)$ es paralela a $(AC)$ y pasa por el centro del círculo inscrito.

116 Hay un lobo en el centro de un campo cuadrado y cuatro perros en las esquinas. El lobo puede matar fácilmente a un perro, pero dos perros pueden matar al lobo. El lobo puede correr por todo el campo, y los perros solo a lo largo de la cerca (borde). Demuestre que si la velocidad del perro es $1.5$ veces mayor que la del lobo, entonces los perros pueden evitar que el lobo escape.

115 El punto $E$ se encuentra sobre la base $[AD]$ del trapecio $ABCD$. Los perímetros de los triángulos $ABE$, $BCE$ y $CDE$ son iguales. Demuestre que $|BC| = |AD|/2$.