144 Demuestre que para todo natural $n$ existe un número, que contiene solo los dígitos " $1$ " y " $2$ " en su notación decimal, que es divisible por $2^n$ (la $n$-ésima potencia de dos).

159 Dado un rectángulo $ABCD$, sean $M$ el punto medio del lado $[AD]$ y $N$ el punto medio del lado $[BC]$. Sea $P$ un punto en la prolongación del segmento $[DC]$ más allá del punto $D$. Denotemos el punto de intersección de las rectas $(PM)$ y $(AC)$ como $Q$. Demuestre que $\angle QNM= \angle MNP$.

094 Dado un octágono con ángulos iguales. Las longitudes de todos los lados son enteros. Demuestre que los lados opuestos son iguales por pares. redacción alternativa Considere un octágono con ángulos iguales y con lados racionales. Demuestre que tiene un centro de simetría.

223 Los números naturales $x_1$ y $x_2$ son menores que $1000$. Construimos una sucesión: $$x_3 = |x_1 - x_2|$$ $$x_4 = min \{ |x_1 - x_2|, |x_1 - x_3|, |x_2 - x_3|\}$$ $$...$$ $$x_k = min \{ |x_i - x_j|, 0 <i < j < k\}$$ $$...$$ Demuestre que $x_{21} = 0$.

118 Dados números positivos $a,b,c,d$. Demuestre que el conjunto de desigualdades $$a+b<c+d$$ $$(a+b)(c+d)<ab+cd$$ $$(a+b)cd<ab(c+d)$$ contiene al menos una incorrecta.

252 Sea $a_n$ el entero más cercano a $\sqrt n$. Encuentre la suma $$1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_{1980}$$

192 Dados dos círculos con radios $R$ y $r$, que se tocan entre sí por el lado exterior. Considere todos los trapecios tales que sus lados laterales toquen ambos círculos y sus bases toquen círculos diferentes. Encuentre el lado lateral más corto posible.

130 El producto de tres números positivos es igual a uno, su suma es estrictamente mayor que la suma de sus inversos. Demuestre que uno y solo uno de ellos es mayor que uno.

327 Dados dos puntos $M$ y $K$ en la circunferencia con radio $r_1$ y centro $O_1$. La circunferencia con radio $r_2$ y centro $O_2$ está inscrita en $\angle MO_1K$. Encuentre el área del cuadrilátero $MO_1KO_2$.

305 Dados los puntos $A, B, M, N$ en la circunferencia. Dos cuerdas $[MA_1]$ y $[MA_2]$ son ortogonales a las rectas $(NA)$ y $(NB)$ respectivamente. Demuestre que las rectas $(AA_1)$ y $(BB_1)$ son paralelas.