096 Se dibuja una circunferencia de radio $100$ cm sobre papel cuadriculado con cuadrados de lado $1$ cm. Esta no pasa por los vértices de los cuadrados ni toca las líneas. ¿Por cuántos cuadrados puede pasar?

074 ¿Pueden tanto $(x^2+y)$ como $(y^2+x)$ ser cuadrados perfectos para $x$ e $y$ naturales?

072 Hay exactamente un astrónomo en cada planeta de un sistema determinado. Él observa el planeta más cercano. El número de planetas es impar y todas las distancias son diferentes. Demuestre que hay un planeta que no está siendo observado.

349 Cada celda de una cuadrícula de $4\times 4$ tiene un tamaño de $1\times 1$. ¿Es posible representar esta cuadrícula como una unión de los siguientes conjuntos: a) Ocho líneas quebradas de longitud cinco cada una? b) Cinco líneas quebradas de longitud ocho cada una?

084 a) La altura máxima $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$. Demuestre que el ángulo $ABC$ no es mayor a $60$ grados. b) La altura $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$ y a la bisectriz $|CD|$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

085 a) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que la suma del número dado y el número obtenido no puede ser igual a $999...9$ ($1967$ nueves). b) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que si la suma del número dado y el número obtenido es igual a $1010$, entonces el número dado era divisible por $10$.

116 Hay un lobo en el centro de un campo cuadrado y cuatro perros en las esquinas. El lobo puede matar fácilmente a un perro, pero dos perros pueden matar al lobo. El lobo puede correr por todo el campo, y los perros solo a lo largo de la cerca (borde). Demuestre que si la velocidad del perro es $1.5$ veces mayor que la del lobo, entonces los perros pueden evitar que el lobo escape.

237 a) Dado un círculo con dos triángulos inscritos $T_1$ y $T_2$. Los vértices de $T_1$ son los puntos medios de los arcos cuyos extremos son los vértices de $T_2$. Considere un hexágono, la intersección de $T_1$ y $T_2$. Demuestre que sus diagonales principales son paralelas a los lados de $T_1$ y que se cortan en un mismo punto. b) El segmento que conecta los puntos medios de los arcos $AB$ y $AC$ del círculo circunscrito alrededor del triángulo $ABC$, corta a los lados $[AB]$ y $[AC]$ en los puntos $D$ y $K$. Demuestre que los puntos $A, D, K$ y $O$ —el centro del círculo— son los vértices de un rombo.

373 Dados dos triángulos equiláteros $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ en el plano. (Los vértices se mencionan en sentido antihorario.) Dibujamos vectores $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$, desde un punto arbitrario $O$, iguales a $\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{B_1B_2}, \overrightarrow{C_1C_2}$ respectivamente. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

160 Dados $50$ segmentos en la recta. Demuestre que una de las siguientes afirmaciones es válida: 1. Algunos $8$ segmentos tienen un punto en común. 2. Algunos $8$ segmentos no se intersecan entre sí.