237 a) Dado un círculo con dos triángulos inscritos $T_1$ y $T_2$. Los vértices de $T_1$ son los puntos medios de los arcos cuyos extremos son los vértices de $T_2$. Considere un hexágono, la intersección de $T_1$ y $T_2$. Demuestre que sus diagonales principales son paralelas a los lados de $T_1$ y que se cortan en un mismo punto. b) El segmento que conecta los puntos medios de los arcos $AB$ y $AC$ del círculo circunscrito alrededor del triángulo $ABC$, corta a los lados $[AB]$ y $[AC]$ en los puntos $D$ y $K$. Demuestre que los puntos $A, D, K$ y $O$ —el centro del círculo— son los vértices de un rombo.

373 Dados dos triángulos equiláteros $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ en el plano. (Los vértices se mencionan en sentido antihorario.) Dibujamos vectores $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$, desde un punto arbitrario $O$, iguales a $\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{B_1B_2}, \overrightarrow{C_1C_2}$ respectivamente. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

307 La tabla rectangular tiene cuatro filas. La primera contiene números naturales arbitrarios (algunos de ellos pueden ser iguales). Las filas consecutivas se completan de acuerdo con la siguiente regla: observamos la fila anterior de izquierda a derecha hasta un cierto número $n$ y escribimos el número $k$ si $n$ apareció $k$ veces. Demuestre que la segunda fila coincide con la cuarta.

236 Dados varios puntos, no todos situados sobre una misma línea recta. Se asigna un número a cada punto. Se sabe que, si una línea recta contiene dos o más puntos, entonces la suma de los números asignados a dichos puntos es igual a cero. Demuestre que todos los números son iguales a cero.

160 Dados $50$ segmentos en la recta. Demuestre que una de las siguientes afirmaciones es válida: 1. Algunos $8$ segmentos tienen un punto en común. 2. Algunos $8$ segmentos no se intersecan entre sí.

327 Dados dos puntos $M$ y $K$ en la circunferencia con radio $r_1$ y centro $O_1$. La circunferencia con radio $r_2$ y centro $O_2$ está inscrita en $\angle MO_1K$. Encuentre el área del cuadrilátero $MO_1KO_2$.

305 Dados los puntos $A, B, M, N$ en la circunferencia. Dos cuerdas $[MA_1]$ y $[MA_2]$ son ortogonales a las rectas $(NA)$ y $(NB)$ respectivamente. Demuestre que las rectas $(AA_1)$ y $(BB_1)$ son paralelas.

132 Los dígitos del número de $17$ dígitos se reordenan en orden inverso. Demuestre que al menos un dígito de la suma del nuevo número y el número inicial es par.

086 a) La lámpara de un faro ilumina un ángulo de $90$ grados. Demuestre que es posible orientar las lámparas de cuatro faros colocados arbitrariamente de tal manera que todo el plano quede iluminado. b) Hay ocho lámparas en ocho puntos del espacio. Cada una puede iluminar un octante (un polígono espacial de tres caras con tres aristas mutuamente ortogonales). Demuestre que es posible orientarlas de tal manera que todo el espacio quede iluminado.

129 Dado un círculo, su diámetro $[AB]$ y un punto $C$ en él. Construya (con la ayuda de regla y compás) dos puntos $X$ e $Y$, que sean simétricos con respecto a la recta $(AB)$, tales que $(YC)$ sea ortogonal a $(XA)$.