5 Sea $a_0 = 0 < a_1 < ... < a_{2n} = 1$. Sea $A$ la unión de todos los intervalos $(a_{2k}, a_{2k+1})$ donde $k$ toma valores desde $0$ hasta $n-1$. Sea $B$ la unión de todos los intervalos $(a_{2k-1}, a_{2k})$ donde $k$ toma valores desde $1$ hasta $n$. Sea $f$ una función continua que mapea el intervalo $[0, 1]$ en el intervalo $[0, 1]$ y posee la siguiente propiedad: Si $x \in A$ entonces $f(x) \in B$ y si $x \in B$, entonces $f(x) \in A$. Demuestre que existe al menos un $i$ tal que $a_i = f(a_i)$.

6 Sea $a\equiv 1\pmod{4}$ un entero positivo. Demuestre que cualquier polinomio $Q\in\mathbb{Z}[X]$ con todos sus coeficientes positivos tal que $$Q(n+1)((a+1)^{Q(n)}-a^{Q(n)})$$ sea un cuadrado perfecto para todo $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ debe ser un polinomio constante. Propuesto por Vlad Matei, Rumania

030 Sean $a$ y $b$ números naturales primos entre sí. Demuestre que el máximo común divisor de $(a+b)$ y $(a^2+b^2)$ es $1$ o $2$.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC,$ y sea $D$ el pie de su altura desde $A.$ Los puntos $B'$ y $C'$ yacen sobre los rayos $AB$ y $AC,$ respectivamente, de tal manera que los puntos $B',$ $C'$ y $D$ son colineales y los puntos $B,$ $C,$ $B'$ y $C'$ yacen sobre un mismo círculo con centro $O.$ Demuestre que si $M$ es el punto medio de $BC$ y $H$ es el ortocentro de $ABC,$ entonces $DHMO$ es un paralelogramo.

2 Sean $ a_1 , a_2 , \cdots , a_k $ números tales que $ a_i \in \{ 0,1,2,3 \} ( i= 1, 2, \cdots ,k) $. Sea $ z = ( x_k , x_{k-1} , \cdots , x_1 )_4 $ una expansión en base 4 de $ z \in \{ 0, 1, 2, \cdots , 4^k -1 \} $. Defina $ A $ de la siguiente manera: \[ A = \{ z | p(z)=z, z=0, 1, \cdots ,4^k-1 \}\] donde \[ p(z) = \sum_{i=1}^{k} a_i x_i 4^{i-1} . \] Demuestre que el número de elementos en $ A $ es una potencia de 2.

2 Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n\geq 2$ con coeficientes racionales tal que $P(x)$ tiene $n$ raíces reales distintas que forman una progresión aritmética. Demuestre que entre las raíces de $P(x)$ hay dos que también son raíces de algún polinomio de grado $2$ con coeficientes racionales.

1 El incírculo de un triángulo no isósceles $ABC$ con centro $I$ toca los lados $BC, CA, AB$ en $A_1, B_1, C_1$ respectivamente. La recta $AI$ corta al circuncírculo de $ABC$ en $A_2$. La recta $B_1 C_1$ corta a la recta $BC$ en $A_3$ y la recta $A_2 A_3$ corta al circuncírculo de $ABC$ en $A_4 (\ne A_2)$. Defina $B_4, C_4$ de manera similar. Demuestre que las rectas $AA_4, BB_4, CC_4$ son concurrentes.

1 Determine seis números naturales diferentes $a, b_1, b_2, c_1, c_2$ y $c_3$ con $$a (b_1 + b_2) (c_1 + c_2 + c_3) = 1978$$ tales que $M = ab_1b_2c_1c_2c_3$ sea mínimo.

059 Un boleto de autobús se considera afortunado si la suma de los tres primeros dígitos es igual a la suma de los tres últimos ( $6$ dígitos en los autobuses rusos). Demuestre que la suma de todos los números afortunados es divisible por $13$ .

161 Encuentre el $x$ máximo tal que la expresión $4^{27} + 4^{1000} + 4^x$ sea un cuadrado perfecto.