7 Sea $a_1,a_2,a_3,\cdots$ la sucesión de enteros positivos tal que $$a_1=1 , a_{k+1}=a^3_k+1, $$ para todo entero positivo $k.$ Demuestre que para todo número primo $p$ de la forma $3l +2,$ donde $l$ es un entero no negativo, existe un entero positivo $n$ tal que $a_n$ es divisible por $p.$

Dados los primeros $1000000000$ números naturales. Reemplazamos cada número por la suma de sus dígitos y repetimos este procedimiento hasta que queden $1000000000$ números de un solo dígito. ¿Hay más " $1$ " -s o " $2$ " -s?

030 Sean $a$ y $b$ números naturales primos entre sí. Demuestre que el máximo común divisor de $(a+b)$ y $(a^2+b^2)$ es $1$ o $2$.

1 Maxi eligió $3$ dígitos y, al escribir todas las permutaciones posibles de estos dígitos, obtuvo $6$ números de $3$ dígitos distintos. Si exactamente uno de esos números es un cuadrado perfecto y exactamente tres de ellos son primos, encuentre los $3$ dígitos de Maxi. Dé todas las posibilidades para los $3$ dígitos.

5 Utilizando triángulos equiláteros de cartón de longitud de lado $1$, se forma un triángulo equilátero de longitud de lado $2^{2004}$. Se retira un triángulo equilátero de lado $1$ cuyo centro coincide con el centro del triángulo grande. Determine si es posible cubrir completamente la superficie restante, sin solapamientos ni huecos, utilizando únicamente piezas con forma de trapecio isósceles, cada una de las cuales se crea uniendo tres triángulos equiláteros de lado $1$.

2 Dado un círculo $C$ y un punto $P$ en su exterior, se trazan dos tangentes al círculo que pasan por $P$, siendo $A$ y $B$ los puntos de tangencia. Tomamos un punto $Q$ en el arco menor $AB$ de $C$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con la recta perpendicular a $AQ$ que pasa por $P$, y sea $N$ la intersección de $BQ$ con la recta perpendicular a $BQ$ que pasa por $P$. Demuestre que, al variar $Q$ en el arco menor $AB$, todas las rectas $MN$ pasan por el mismo punto.

3 Encuentre la solución de la ecuación $8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1$ en el intervalo $[0,1]$.

015 Dados los números positivos $a_1,a_2,...,a_{99},a_{100}$. Se sabe que $$a_1>a_0, a_2=3a_1-2a_0, a_3=3a_2-2a_1, ..., a_{100}=3a_{99}-2a_{98}$$ Demuestre que $$a_{100}>2^{99}.$$

Sea $ABC$ un triángulo con lados $AB=20$, $AC=21$ y $BC=29$. Sean $D$ y $E$ puntos en el lado $BC$ tales que $BD=8$ y $EC=9$. Encuentre el ángulo $\angle DAE$.

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que $AB=AD$. Sean $E$ y $F$ puntos en los lados $BC$ y $CD$, respectivamente, tales que $BE+DF=EF$. Demuestre que $\angle BAD = 2 \angle EAF$.