2 Se da el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} (x_2 - x_1)^2 + 2 (x_2 + x_1) + 1 = n^2\\ (x_3 - x_2)^2 + 2 (x_3 + x_2) + 1 = n^2 \\ ................ \\ (x_1 - x_n)^2 + 2 (x_1 + x_n) + 1 = n^2 \end{cases}$$ donde $n > 1$. $(a_1, a_2,..., a_n)$ es una solución con enteros no negativos $a_i$. Demuestre que $a_1 = a_n$ o $a_j = a_{j + 1}$ para todo $j$ tal que $1 \le j \le n - 1$.

1 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos que satisfacen $abc=1.$ Demuestre que $$\frac{a^2-b^2}{a+bc}+\frac{b^2-c^2}{b+ca}+\frac{c^2-a^2}{c+ab}\leq a+b+c-3.$$

Se marcan $7501$ puntos en un cuadrado de $96 \times 96$. Llamamos marco al cuadrado de $4 \times 4$ sin su cuadrado central de $2 \times 2$. Demuestre que existe un marco con lados paralelos al cuadrado de $96 \times 96$ (no necesariamente alineado con las líneas de la cuadrícula) que contiene al menos $10$ puntos marcados. Propuesto por Negar Babashah, Shima Amirbeygie. Clasificación 5.

6 Sea $ABC$ un triángulo. La bisectriz interna de $ABC$ corta al lado $AC$ en $L$ y al circuncírculo de $ABC$ nuevamente en $W \neq B.$ Sea $K$ la proyección perpendicular de $L$ sobre $AW.$ El circuncírculo de $BLC$ corta a la recta $CK$ nuevamente en $P \neq C.$ Las rectas $BP$ y $AW$ se cortan en el punto $T.$ Demuestre que $$AW=WT.$$

4 Ana juega un juego en un tablero de ajedrez de $100\times 100$. Inicialmente, hay un peón blanco en cada casilla de la fila inferior y un peón negro en cada casilla de la fila superior, y no hay otros peones en ninguna otra parte. Cada peón blanco se mueve hacia la fila superior y cada peón negro se mueve hacia la fila inferior de una de las siguientes maneras: se mueve a la casilla directamente frente a él si no hay otro peón en ella; captura un peón en una de las casillas diagonalmente adyacentes en la fila inmediatamente frente a él si hay un peón del color opuesto en ella. (Decimos que un peón $P$ captura a un peón $Q$ del color opuesto si retiramos a $Q$ del tablero y movemos a $P$ a la casilla en la que estaba $Q$ anteriormente). Ana puede mover cualquier peón (no necesariamente alternando entre negro y blanco) de acuerdo con esas reglas. ¿Cuál es el número mínimo de peones que pueden permanecer en el tablero después de que no se puedan realizar más movimientos? Propuesto por José Alejandro Reyes González, México

Un grupo de piratas tuvo una discusión y no todos ellos apuntan a otros dos con sus armas. Todos los piratas son llamados uno por uno en algún orden. Si el pirata llamado aún está vivo, dispara a ambos piratas a los que apunta (algunos de los cuales podrían estar ya muertos). Todos los disparos son inmediatamente letales. Después de que todos los piratas han sido llamados, resulta que exactamente $28$ piratas fueron asesinados. Demuestre que si los piratas fueran llamados en cualquier otro orden, al menos $10$ piratas habrían sido asesinados de todas formas.

3 ¿Existe una sucesión infinita no constante de números naturales distintos tal que para todo $k$ suficientemente grande se cumple que la suma de cualquier sub-sucesión de tamaño $k$ es libre de cuadrados si y solo si $k$ es libre de cuadrados? Propuesto por Alireza Haqi, Amir Rezaie Moghadam Clasificado 3

2 Dado el vértice $A$ y el $A$-excircunferecia $\omega_A$. Construya todos los triángulos posibles tales que el circuncentro del $\triangle ABC$ coincida con el baricentro del triángulo formado por los puntos de tangencia de $\omega_A$ y los lados del triángulo. Propuesto por Seyed Reza Hosseini Dolatabadi, Pooya Esmaeil Akhondy Clasificación 4

013 Dados los puntos $A', B', C', D'$ en la prolongación de los lados $[AB], [BC], [CD], [DA]$ del cuadrilátero convexo $ABCD$, tales que los siguientes pares de vectores son iguales: $$[BB']=[AB], [CC']=[BC], [DD']=[CD], [AA']=[DA].$$ Demuestre que el área del cuadrilátero $A'B'C'D'$ es cinco veces mayor que el área del cuadrilátero $ABCD$.

3 Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula cuadrada con $2024 \times 2024$ cuadrados unitarios. Se turnan para cubrir cuadrados unitarios con pegatinas que incluyen sus nombres. Alice juega los turnos impares y Bob juega los turnos pares. En el turno $k$-ésimo, sea $n_k$ el menor entero tal que $n_k\geqslant\tfrac{k}{2024}$. Si hay al menos un cuadrado sin pegatina, entonces el jugador que toma el turno: selecciona como máximo $n_k$ cuadrados unitarios en la cuadrícula de tal manera que al menos uno de los cuadrados unitarios elegidos no tenga una pegatina. Cubre cada uno de los cuadrados unitarios seleccionados con una pegatina que tiene su nombre. Si un cuadrado seleccionado ya tiene una pegatina, entonces esa pegatina se retira primero. Al final de su turno, un jugador gana si existen $123$ cuadrados unitarios que contienen pegatinas con el nombre de ese jugador que están colocados en cuadrados unitarios consecutivos horizontal, vertical o diagonalmente. Consideramos que el juego es un empate si todos los cuadrados unitarios están cubiertos pero ningún jugador ha ganado todavía. ¿Tiene Alice una estrategia ganadora? Propuesto por Erik Paemurru, Estonia