Ocho hombres participaron en el torneo de ajedrez. (Cada uno se enfrenta a cada uno, los empates están permitidos, otorgando $1/2$ de punto, el ganador obtiene $1$). Todos tienen un número diferente de puntos. El segundo obtuvo tantos puntos como los cuatro participantes más débiles juntos. ¿Cuál fue el resultado de la partida entre el tercer clasificado y el ajedrecista que ocupó el séptimo lugar?

2 Se da el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} (x_2 - x_1)^2 + 2 (x_2 + x_1) + 1 = n^2\\ (x_3 - x_2)^2 + 2 (x_3 + x_2) + 1 = n^2 \\ ................ \\ (x_1 - x_n)^2 + 2 (x_1 + x_n) + 1 = n^2 \end{cases}$$ donde $n > 1$. $(a_1, a_2,..., a_n)$ es una solución con enteros no negativos $a_i$. Demuestre que $a_1 = a_n$ o $a_j = a_{j + 1}$ para todo $j$ tal que $1 \le j \le n - 1$.

5 Considere dos sucesiones $x_n=an+b$, $y_n=cn+d$ donde $a,b,c,d$ son números naturales y $gcd(a,b)=gcd(c,d)=1$, demuestre que existen infinitos $n$ tales que $x_n$ e $y_n$ son ambos libres de cuadrados. Propuesto por Siavash Rahimi Shateranloo, Matin Yadollahi. Clasificación 3

6 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ y los polinomios $P(x),Q(x),R(x)$ con coeficientes reales positivos tales que $Q(-1)=-1$ y para todos los números reales positivos $x,y$: $$f(\frac{x}{y}+R(y))=\frac{f(x)}{Q(y)}+P(y).$$ Propuesto por Alireza Danaie, Ali Mirazaie Anari Clasificado 2

4 Un rectángulo en el sistema cartesiano xy se denomina reticular si todos sus vértices tienen coordenadas enteras. a) Encuentre un rectángulo reticular de área $2013$, cuyos lados no sean paralelos a los ejes. b) Demuestre que si un rectángulo reticular tiene área $2011$, entonces sus lados son paralelos a los ejes.

7 Sea $a_1,a_2,a_3,\cdots$ la sucesión de enteros positivos tal que $$a_1=1 , a_{k+1}=a^3_k+1, $$ para todo entero positivo $k.$ Demuestre que para todo número primo $p$ de la forma $3l +2,$ donde $l$ es un entero no negativo, existe un entero positivo $n$ tal que $a_n$ es divisible por $p.$

2 Resuelva en enteros $20^x+13^y=2013^z$ .

2 Sean $ a_1 , a_2 , \cdots , a_k $ números tales que $ a_i \in \{ 0,1,2,3 \} ( i= 1, 2, \cdots ,k) $. Sea $ z = ( x_k , x_{k-1} , \cdots , x_1 )_4 $ una expansión en base 4 de $ z \in \{ 0, 1, 2, \cdots , 4^k -1 \} $. Defina $ A $ de la siguiente manera: \[ A = \{ z | p(z)=z, z=0, 1, \cdots ,4^k-1 \}\] donde \[ p(z) = \sum_{i=1}^{k} a_i x_i 4^{i-1} . \] Demuestre que el número de elementos en $ A $ es una potencia de 2.

1 $\boxed{N1}$ Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales $1^3+2^3+\cdots+{16}^3+{17}^n$ es un cuadrado perfecto.

6 Sea $a\equiv 1\pmod{4}$ un entero positivo. Demuestre que cualquier polinomio $Q\in\mathbb{Z}[X]$ con todos sus coeficientes positivos tal que $$Q(n+1)((a+1)^{Q(n)}-a^{Q(n)})$$ sea un cuadrado perfecto para todo $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ debe ser un polinomio constante. Propuesto por Vlad Matei, Rumania