044 Dado un conjunto arbitrario de $2k+1$ enteros $\{a_1,a_2,...,a_{2k+1}\}$. Formamos un nuevo conjunto $$ \{(a_1+a_2)/2, (a_2+a_3)/2, ..., (a_{2k}+a_{2k+1})/2, (a_{2k+1}+a_1)/2\}$$ y uno nuevo, siguiendo la misma regla, y así sucesivamente... Demuestre que si obtenemos solo enteros, el conjunto inicial consistía únicamente en enteros iguales.

1 Sea $A_1A_2...A_{2010}$ un polígono regular de $2010$ lados. Encuentre el número de triángulos obtusángulos cuyos vértices se encuentran entre $A_1$ , $A_2$ , $ ...$ , $A_{2010}$ .

1 Para un entero positivo $n$, denotamos por $P_0(n)$ el producto de todos los dígitos distintos de cero de $n$. Sea $N_0$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $P_0(n)|n$. Encuentre el mayor valor posible de $\ell$ tal que $N_0$ contenga infinitas sucesiones de $\ell$ enteros consecutivos. Propuesto por Navid Safaei, Irán.

030 Sean $a$ y $b$ números naturales primos entre sí. Demuestre que el máximo común divisor de $(a+b)$ y $(a^2+b^2)$ es $1$ o $2$.

6 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ y los polinomios $P(x),Q(x),R(x)$ con coeficientes reales positivos tales que $Q(-1)=-1$ y para todos los números reales positivos $x,y$: $$f(\frac{x}{y}+R(y))=\frac{f(x)}{Q(y)}+P(y).$$ Propuesto por Alireza Danaie, Ali Mirazaie Anari Clasificado 2

5 Considere dos sucesiones $x_n=an+b$, $y_n=cn+d$ donde $a,b,c,d$ son números naturales y $gcd(a,b)=gcd(c,d)=1$, demuestre que existen infinitos $n$ tales que $x_n$ e $y_n$ son ambos libres de cuadrados. Propuesto por Siavash Rahimi Shateranloo, Matin Yadollahi. Clasificación 3

059 Un boleto de autobús se considera afortunado si la suma de los tres primeros dígitos es igual a la suma de los tres últimos ( $6$ dígitos en los autobuses rusos). Demuestre que la suma de todos los números afortunados es divisible por $13$ .

4 Un rectángulo en el sistema cartesiano xy se denomina reticular si todos sus vértices tienen coordenadas enteras. a) Encuentre un rectángulo reticular de área $2013$, cuyos lados no sean paralelos a los ejes. b) Demuestre que si un rectángulo reticular tiene área $2011$, entonces sus lados son paralelos a los ejes.

1 $\boxed{N1}$ Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales $1^3+2^3+\cdots+{16}^3+{17}^n$ es un cuadrado perfecto.

2 Sean $ a_1 , a_2 , \cdots , a_k $ números tales que $ a_i \in \{ 0,1,2,3 \} ( i= 1, 2, \cdots ,k) $. Sea $ z = ( x_k , x_{k-1} , \cdots , x_1 )_4 $ una expansión en base 4 de $ z \in \{ 0, 1, 2, \cdots , 4^k -1 \} $. Defina $ A $ de la siguiente manera: \[ A = \{ z | p(z)=z, z=0, 1, \cdots ,4^k-1 \}\] donde \[ p(z) = \sum_{i=1}^{k} a_i x_i 4^{i-1} . \] Demuestre que el número de elementos en $ A $ es una potencia de 2.