Ocho hombres participaron en el torneo de ajedrez. (Cada uno se enfrenta a cada uno, los empates están permitidos, otorgando $1/2$ de punto, el ganador obtiene $1$). Todos tienen un número diferente de puntos. El segundo obtuvo tantos puntos como los cuatro participantes más débiles juntos. ¿Cuál fue el resultado de la partida entre el tercer clasificado y el ajedrecista que ocupó el séptimo lugar?

029 a) Cada diagonal del cuadrilátero divide su área a la mitad. Demuestre que es un paralelogramo. b) Las tres diagonales principales del hexágono dividen su área a la mitad. Demuestre que se intersecan en un punto.

Se escriben enteros positivos del 1 al 9 en cada casilla de una tabla de $ 3 \times 3 $. Definamos una operación de la siguiente manera: tome una fila o columna arbitraria y reemplace estos números $ a, b, c $ por números no negativos $ a-x, b-x, c+x $ o $ a+x, b-x, c-x $, donde $ x $ es un número positivo y puede variar en cada operación. (1) ¿Existe una serie de operaciones tal que los 9 números resulten ser iguales a partir de la siguiente disposición inicial a)? b)? \[ a) \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \] \[ b) \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 5 \\ 9 & 3 & 4 \\ 6 & 7 & 1 \end{array} \] (2) Determine el valor máximo al cual los 9 números resultan ser iguales después de algunos pasos.

2 Se da el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} (x_2 - x_1)^2 + 2 (x_2 + x_1) + 1 = n^2\\ (x_3 - x_2)^2 + 2 (x_3 + x_2) + 1 = n^2 \\ ................ \\ (x_1 - x_n)^2 + 2 (x_1 + x_n) + 1 = n^2 \end{cases}$$ donde $n > 1$. $(a_1, a_2,..., a_n)$ es una solución con enteros no negativos $a_i$. Demuestre que $a_1 = a_n$ o $a_j = a_{j + 1}$ para todo $j$ tal que $1 \le j \le n - 1$.

4 Ana juega un juego en un tablero de ajedrez de $100\times 100$. Inicialmente, hay un peón blanco en cada casilla de la fila inferior y un peón negro en cada casilla de la fila superior, y no hay otros peones en ninguna otra parte. Cada peón blanco se mueve hacia la fila superior y cada peón negro se mueve hacia la fila inferior de una de las siguientes maneras: se mueve a la casilla directamente frente a él si no hay otro peón en ella; captura un peón en una de las casillas diagonalmente adyacentes en la fila inmediatamente frente a él si hay un peón del color opuesto en ella. (Decimos que un peón $P$ captura a un peón $Q$ del color opuesto si retiramos a $Q$ del tablero y movemos a $P$ a la casilla en la que estaba $Q$ anteriormente). Ana puede mover cualquier peón (no necesariamente alternando entre negro y blanco) de acuerdo con esas reglas. ¿Cuál es el número mínimo de peones que pueden permanecer en el tablero después de que no se puedan realizar más movimientos? Propuesto por José Alejandro Reyes González, México

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC,$ y sea $D$ el pie de su altura desde $A.$ Los puntos $B'$ y $C'$ yacen sobre los rayos $AB$ y $AC,$ respectivamente, de tal manera que los puntos $B',$ $C'$ y $D$ son colineales y los puntos $B,$ $C,$ $B'$ y $C'$ yacen sobre un mismo círculo con centro $O.$ Demuestre que si $M$ es el punto medio de $BC$ y $H$ es el ortocentro de $ABC,$ entonces $DHMO$ es un paralelogramo.

1 Sea $A_1A_2...A_{2010}$ un polígono regular de $2010$ lados. Encuentre el número de triángulos obtusángulos cuyos vértices se encuentran entre $A_1$ , $A_2$ , $ ...$ , $A_{2010}$ .

4 Los números reales $a, b$ y $c$ cumplen las condiciones $c \ge 1$ y $a + b + c = 0.$ Demuestre que entonces se cumple la siguiente desigualdad: $$a^4 + b^4 + c^4 > 3abc$$

1 Encuentre el valor máximo de componentes naturales del número $96$ que podemos separar de tal manera que todos ellos deban ser números primos entre sí.

2 Encuentre todas las funciones $f,g : N \to N$ tales que para todo $m ,n \in N$ se cumple la siguiente relación: $$f(m ) - f(n) = (m - n)(g(m) + g(n))$$ . Nota: $N = \{0,1,2,...\}$