7 Varios números racionales fueron escritos en la pizarra. Dima anotó sus partes fraccionarias en un papel. Luego, todos los números en la pizarra fueron elevados al cuadrado, y Dima anotó en otro papel las partes fraccionarias de los números resultantes. Resultó que en los papeles de Dima estaban escritos los mismos conjuntos de números (quizás en un orden diferente). Demuestre que los números originales en la pizarra eran enteros. (La parte fraccionaria de un número $x$ es aquel número $\{x\}$, $0 \le \{x\} < 1$, tal que $x-\{x\}$ es un entero).

6 Sea $ABC$ un triángulo y sean $I$ y $O$ su incentro y su circuncentro, respectivamente. Sea $\omega_A$ el círculo que pasa por $B$ y $C$ que es tangente al incírculo del triángulo $ABC$; los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se cortan en un punto $A'$ distinto de $A$; los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestre que las rectas $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes en un punto sobre la recta $IO$. (Rusia) Fedor Ivlev

1 Se sabe que en un conjunto de cinco monedas, tres son auténticas (y tienen el mismo peso), mientras que dos monedas son falsas, cada una de las cuales tiene un peso diferente al de una moneda auténtica. ¿Cuál es el número mínimo de pesadas en una balanza de dos platillos que se necesita para localizar una moneda auténtica?

16 Suponga que ${x_1, x_2, \dots , x_n}$ son enteros positivos para los cuales $x_1 + x_2 + \cdots+ x_n = 2(n + 1)$. Demuestre que existe un entero $r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ para el cual se cumplen las siguientes $n - 1$ desigualdades: \[x_{r+1} + \cdots + x_{r+i} \leq 2i+ 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq n - r; \] \[x_{r+1} + \cdots + x_n + x_1 + \cdots+ x_i \leq 2(n - r + i) + 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq r - 1.\] Demuestre que si todas las desigualdades son estrictas, entonces $r$ es único y que, de lo contrario, existen exactamente dos valores de $r$ tales. Amir

4 En una escuela hay $n$ clases y $k$ estudiantes. Sabemos que en esta escuela cada dos estudiantes han asistido exactamente a una clase en común. Además, debido a lo pequeño de la escuela, cada clase tiene menos de $k$ estudiantes. Si $k-1$ no es un cuadrado perfecto, demuestre que existe un estudiante que ha asistido al menos a $\sqrt k$ clases. Propuesto por Mohammad Moshtaghi Far, Kian Shamsaie Calificación 4

2 Se da el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} (x_2 - x_1)^2 + 2 (x_2 + x_1) + 1 = n^2\\ (x_3 - x_2)^2 + 2 (x_3 + x_2) + 1 = n^2 \\ ................ \\ (x_1 - x_n)^2 + 2 (x_1 + x_n) + 1 = n^2 \end{cases}$$ donde $n > 1$. $(a_1, a_2,..., a_n)$ es una solución con enteros no negativos $a_i$. Demuestre que $a_1 = a_n$ o $a_j = a_{j + 1}$ para todo $j$ tal que $1 \le j \le n - 1$.

1 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos que satisfacen $abc=1.$ Demuestre que $$\frac{a^2-b^2}{a+bc}+\frac{b^2-c^2}{b+ca}+\frac{c^2-a^2}{c+ab}\leq a+b+c-3.$$

6 Sea $ABC$ un triángulo. La bisectriz interna de $ABC$ corta al lado $AC$ en $L$ y al circuncírculo de $ABC$ nuevamente en $W \neq B.$ Sea $K$ la proyección perpendicular de $L$ sobre $AW.$ El circuncírculo de $BLC$ corta a la recta $CK$ nuevamente en $P \neq C.$ Las rectas $BP$ y $AW$ se cortan en el punto $T.$ Demuestre que $$AW=WT.$$

Un grupo de piratas tuvo una discusión y no todos ellos apuntan a otros dos con sus armas. Todos los piratas son llamados uno por uno en algún orden. Si el pirata llamado aún está vivo, dispara a ambos piratas a los que apunta (algunos de los cuales podrían estar ya muertos). Todos los disparos son inmediatamente letales. Después de que todos los piratas han sido llamados, resulta que exactamente $28$ piratas fueron asesinados. Demuestre que si los piratas fueran llamados en cualquier otro orden, al menos $10$ piratas habrían sido asesinados de todas formas.

2 Se escribe un entero positivo en cada cuadrado de $1 \times 1$ de un tablero de $m \times n$. Se permiten las siguientes operaciones: (1) En una fila seleccionada arbitrariamente del tablero, todos los números deben reducirse en $1$. (2) En una columna seleccionada arbitrariamente del tablero, duplicar todos los números. ¿Es siempre posible, después de un número finito de pasos, que todos los números escritos en el tablero sean iguales a $-1$? (Explique la respuesta.)