12 Se debe asignar el número $0$ o $1$ a cada uno de los $n$ vértices de un polígono regular. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer esto (si consideramos idénticas dos asignaciones que pueden obtenerse una de la otra mediante una rotación en el plano del polígono)? Amir

11.2 Sean $a$ y $b$ dos números reales. Encuentre estos números dado que las gráficas de $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} , f(x)=2x^4-a^2x^2+b-1$ y $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,g(x)=2ax^3-1$ tienen exactamente dos puntos de intersección.

2 Diecisiete ciudades son atendidas por cuatro aerolíneas. Se observa que existe servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos ciudades y que todos los itinerarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes. Amir

3 Cada entero positivo está coloreado de rojo o azul. Una función $f$ del conjunto de los enteros positivos en sí mismo tiene las siguientes dos propiedades: (a) si $x\le y$, entonces $f(x)\le f(y)$; y (b) si $x, y$ y $z$ son enteros positivos (no necesariamente distintos) del mismo color y $x+y=z$, entonces $f(x)+f(y)=f(z)$. Demuestre que existe un número positivo $a$ tal que $f(x)\le ax$ para todo entero positivo $x$. (Reino Unido) Ben Elliott

1 Considere las sucesiones $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ de enteros no negativos definidas seleccionando cualesquiera $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ (no todos 0) y para cada $n$ $\geq$ 3 definiendo $a_n$ = | $a_{n-1}$ - $a_{n-3}$ |. 1-En el caso particular en que $a_0$ = 1 , $a_1$ = 3 y $a_2$ = 2, calcule el inicio de la sucesión, listando $a_0$ , $a_1$ , $\cdots$ , $a_{19}$ , $a_{20}$. 2-Demuestre que para cada sucesión, existe una constante $c$ tal que $a_i$ $\leq$ $c$ para todo $i$ $\geq$ 0. Note que la constante $c$ puede depender de los números $a_0$ , $a_1$ y $a_2$. 3-Demuestre que, para cada elección de $a_0$ , $a_1$ y $a_2$, la sucesión resultante es eventualmente periódica. 4-Demuestre que la longitud mínima $p$ del periodo descrito en (3) es la misma para todos los valores iniciales permitidos $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ de la sucesión.

7 Varios números racionales fueron escritos en la pizarra. Dima anotó sus partes fraccionarias en un papel. Luego, todos los números en la pizarra fueron elevados al cuadrado, y Dima anotó en otro papel las partes fraccionarias de los números resultantes. Resultó que en los papeles de Dima estaban escritos los mismos conjuntos de números (quizás en un orden diferente). Demuestre que los números originales en la pizarra eran enteros. (La parte fraccionaria de un número $x$ es aquel número $\{x\}$, $0 \le \{x\} < 1$, tal que $x-\{x\}$ es un entero).

4. Suponga que cuatro personas A, B, C y D deciden jugar partidos de tenis en dobles. Primero podrían jugar el equipo A y B contra el equipo C y D. Luego, A y C podrían jugar contra B y D. Finalmente, A y D podrían jugar contra B y C. La ventaja de este arreglo es que se satisfacen dos condiciones: (a) Cada jugador está en el mismo equipo que cada uno de los otros jugadores exactamente una vez. (b) Cada jugador está en el equipo contrario a cada uno de los otros jugadores exactamente dos veces. ¿Es posible organizar una colección de partidos de tenis que satisfaga tanto la condición (a) como la condición (b) en las siguientes circunstancias? (i) Hay cinco jugadores. (ii) Hay siete jugadores. (iii) Hay nueve jugadores.

3 Sea $n$ un entero positivo. Sea $P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2, \dots, 3^n \}.$ Para cada subconjunto $X$ de $P_n$, denotamos por $S_X$ la suma de todos los elementos de $X$, con la convención de que $S_{\emptyset}=0$ donde $\emptyset$ es el conjunto vacío. Suponga que $y$ es un número real tal que $0 \leq y \leq 3^{n+1}-2^{n+1}.$ Demuestre que existe un subconjunto $Y$ de $P_n$ tal que $0 \leq y-S_Y < 2^n.$

3 Sea $k$ un entero positivo. Determine el menor entero positivo $n$, con $n\geq k+1$, para el cual el juego descrito a continuación puede jugarse indefinidamente: Considere $n$ cajas, etiquetadas $b_1,b_2,...,b_n$. Para cada índice $i$, la caja $b_i$ contiene exactamente $i$ monedas. En cada paso, se realizan los siguientes tres subpasos en orden: (1) Elija $k+1$ cajas; (2) De estas $k+1$ cajas, elija $k$ y retire al menos la mitad de las monedas de cada una, y añada a la caja restante, si está etiquetada como $b_i$, un número de $i$ monedas. (3) Si una de las cajas queda vacía, el juego termina; de lo contrario, pase al siguiente paso. Propuesto por Demetres Christofides, Chipre

Los números naturales $1, 2, 3, \dots, 100$ están contenidos en la unión de $N$ progresiones geométricas (no necesariamente con razones enteras). Demuestre que $N \ge 31$.